ADC重要的信噪比公式是怎么來的？

做過數據采集或者模擬電路的同學很可能知道下面這個關于ADC信噪比的著名公式：

其中N是ADC的位數，比如對于一個10bit的ADC，N=10，當ADC采集一個滿量程的正弦波時，那么信噪比SNR=6.02*10+1.76=86.04dB，那么這個公式是怎么來的呢？

ADC量化噪聲

下圖是理想ADC的量化噪聲示意圖，從下圖可以看到，對于一個線性輸入的模擬信號，ADC會產生臺階式的輸出，這個輸入和輸出的誤差波形近似于一個峰峰值q=1LSB的鋸齒波，它的有效值RMS計算過程見公式(2)（q=1LSB），LSB計算過程見公式(3)，其中FS是ADC的輸入電壓范圍，。

SNR

以前的文章介紹過SNR計算過程，信噪比是信號的有效值（RMS）除以噪聲的有效值（RMS），

對于一個滿量程輸入的正弦信號見公式(5)，根據公式(5)可以求得公式(6)，

對于滿量程ADC而言，其輸入范圍是0-FS，那么輸入的正弦信號的幅度范圍就是0-Fs/2，見下圖示意圖，因此公式(5)中的分母是2

ADC信噪比SNR與位數N

那么到目前為止，我們知道了信號的有效值（RMS），即公式(6)，也知道了ADC量化噪聲的有效值（RMS），即公式(2)。把公式(6)和公式(2)帶入公式(4)得到公式(7)：

公式(7)不夠簡化，我們繼續化簡（高中學的指數運算規則），可以得到公式(8)，

由此我們就推導出了ADC位數N與信噪比SNR的關系，是不是和公式(1)一模一樣？

多說幾句

上式的成立條件是信號帶寬比較高。

如果信號帶寬（或者說頻率）很低，低于奈奎斯特采樣頻率fs/2，那么這會導致信號帶寬范圍內的噪聲減小，進而使得SNR增加。

這就是常說的過采樣，詳細內容后面后機會在介紹。

另一點值得說明的是，在評估噪聲時，常用到頻譜分析，頻譜的本底噪聲值與采樣點數量有關。

如果采樣點多，那么本底噪聲就會低，如果采樣點數量減小，那么本底噪聲就會增加，這被稱為FFT增益。

因此在噪聲分析時，最好要自始至終使用相同數量的采樣點進行分析，避免被不正確的評估方法誤導。