微機電系統(tǒng)（MEMS）和納機電系統(tǒng)（NEMS）諧振器通常以高品質因數在大振幅下工作，并具有各種非線性模態(tài)耦合的高模態(tài)密度，因此可以表現出豐富的非線性動力學行為。這些效應受內部諧振條件以及模態(tài)耦合系數強度的顯著影響。一方面，強非線性耦合引起了學術界的興趣，并有望帶來新的器件概念；另一方面，它們有可能干擾基于線性系統(tǒng)行為的工業(yè)器件（例如MEMS陀螺儀和MEMS微鏡）的正常工作。無論哪種情況，通過設計優(yōu)化耦合系數無疑都是有益的。非線性模態(tài)耦合的一個主要來源是幾何非線性。
據麥姆斯咨詢報道，近日，羅伯特·博世（Robert Bosch）和慕尼黑工業(yè)大學（Technical University of Munich）的研究人員組成的團隊提出了一種基于節(jié)點的形狀優(yōu)化方法，用于調整MEMS陀螺儀的幾何非線性3-wave模態(tài)耦合系數。結果表明，通過形狀優(yōu)化，單個耦合系數可以在幾個數量級范圍內進行調整，同時滿足器件在可制造性和可操作性方面的典型約束。優(yōu)化后的設計包含了一些直覺上難以預見的幾何特征，遠超經驗豐富的MEMS或NEMS設計師可能想到的方案。因此，該工作展示了形狀優(yōu)化方法在定制MEMS和NEMS諧振器的復雜非線性動力學特性方面的強大作用。上述研究成果以“Shape optimization of geometrically nonlinear modal coupling coefficients: an application to MEMS gyroscopes”為題發(fā)表于Scientific Reports期刊。
模態(tài)耦合系數的形狀優(yōu)化
研究人員概述了所采用的形狀優(yōu)化方法，特別關注特征向量相關函數的靈敏度分析，例如3-wave耦合系數。為此，引入了伴隨法（Adjoint Method）。
研究人員將基于節(jié)點的形狀優(yōu)化應用于沿z方向擠出的幾何體。為此，引入了參數pj，該參數使幾何體的外部節(jié)點沿著xy平面中的曲面法線移動。設計參數被收集在一個向量p中。為了避免優(yōu)化設計中的突變，這些參數被定義為也以線性衰減的方式拖動相鄰節(jié)點。本質上，每個參數pj對應于幾何體的一個外部節(jié)點。增大pj的值將使相應的節(jié)點以及一些相鄰的節(jié)點沿xy平面中幾何體的曲面法線移動。通過這種方式，擠出幾何體的形狀可以以參數化的方式變化，并且可以解析地計算出相對于這種形狀變化的梯度。
優(yōu)化問題通常是非線性的，需要迭代求解過程。目的是找到參數集P，該參數集修改幾何體的形狀以滿足所有指定的約束。因此，優(yōu)化循環(huán)從對當前設計進行模態(tài)分析開始。隨后，對目標函數和約束進行評估，并計算其相對于設計參數的靈敏度。然后，采用移動漸近線（MMA）的方法來解決非線性優(yōu)化問題，并提供一組更新后的設計參數。最后，將這些設計參數應用于調整節(jié)點坐標的位置，從而獲得更新后的設計。重復這些步驟，直至所有約束均得到滿足。
形狀優(yōu)化方法應用于MEMS陀螺儀
研究人員以MEMS陀螺儀為例演示其提出的優(yōu)化方法。
MEMS陀螺儀模型
圖1描繪了MEMS陀螺儀初始設計的俯視圖。研究人員假設整個機械結構由線性各向同性多晶硅構成。該設計在xy平面上表現出四分之一的對稱性。在圖1中，襯底錨固件以藍色表示，彈簧結構以綠色表示，梳狀驅動電極以橙色表示。圖2顯示了與初始設計相關的幾個本征模態(tài)。
圖1 單軸MEMS陀螺儀初始設計的俯視圖
圖2 MEMS陀螺儀初始設計的模態(tài)
優(yōu)化策略
通過兩種不同的優(yōu)化策略展示幾何非線性3-wave耦合系數的形狀優(yōu)化。兩種優(yōu)化均將在圖1所示的MEMS陀螺儀上進行，研究人員將基于節(jié)點的形狀優(yōu)化方法應用于陀螺儀的彈簧結構部分。第一種優(yōu)化策略的目標是將驅動模態(tài)與兩個寄生模態(tài)之間的兩種幾何非線性3-wave耦合降低1000倍。與第一種優(yōu)化相反，第二種優(yōu)化策略將展示幾何非線性3-wave效應的增強。研究人員將強制執(zhí)行1:2內部諧振，并將相應的耦合系數提高250倍。
圖3 優(yōu)化過程中優(yōu)化的3-wave耦合系數的歷史
圖4 根據第一種策略優(yōu)化的MEMS陀螺儀的四分之一模型
圖5 根據第二種策略優(yōu)化的MEMS陀螺儀的四分之一模型
與增強初始較小的3-wave耦合系數相比，降低初始較大的3-wave耦合系數所需的迭代次數和設計更改更少。在這兩種優(yōu)化中，研究人員發(fā)現了一些直觀上難以預見的設計變更，這些變更對優(yōu)化后的3-wave耦合系數產生了顯著影響。這證實了基于梯度的形狀優(yōu)化在調整幾何非線性模態(tài)耦合方面的有用性，無需手動調整拓撲結構。
為了研究優(yōu)化設計對制造公差的敏感性，研究人員還計算了初始設計和優(yōu)化設計在膨脹和腐蝕幾何體下的耦合系數。
圖6 初始和優(yōu)化設計中3-wave耦合系數對工藝變化的依賴性
小結
綜上所述，這項研究開發(fā)了一種基于節(jié)點的幾何非線性3-wave耦合系數形狀優(yōu)化架構，并將其應用于MEMS陀螺儀的設計。結果表明，通過所提出的方法，3-wave耦合系數可以增強或降低幾個數量級，同時滿足可制造性約束和本征頻率約束。平面內、平面外和扭轉模態(tài)之間的3-wave耦合系數可以通過非常細微的設計改動降低3個數量級。導致平面內和平面外模態(tài)之間1:2內部諧振的3-wave耦合系數可以增強250倍，同時滿足相應的諧振條件。此外，即使存在制造誤差，優(yōu)化后的耦合系數仍比初始值小或大兩個數量級左右。研究結果凸顯了形狀優(yōu)化作為一種強大設計工具的價值，既適用于利用非線性效應的MEMS和NEMS諧振器應用，也適用于因非線性效應而產生寄生影響的應用。
論文鏈接：
https://doi.org/10.1038/s41598-025-95412-0
