吳大正信號與系統-頻域分析總結

原創云深之無跡 2024-10-10 12:02

【8/11日直播】搞PIC/CPO的工程師請進！如何做到“固化即永久”？ 測試中斷？接觸漂移？5 道題找到根因

吳大正的書現在來看是真不錯，奧本海姆讓我迷失在了知識的海洋。反而現在看這種國內教科書的感覺非常好。

先信號與系統，后連續系統的時域分析，離散系統的時域分析，傅里葉變變換和系統的頻域分析。

因為是新的學科，簡單的總結出現的名詞。

傅里葉變換: 將時域信號轉換為頻域信號的數學工具。
時域: 描述信號隨時間變化的特性。
頻域: 描述信號的頻率成分。
微分: 表示函數在某一點的變化率。
積分: 表示函數在一段區間內的累積量。
時域微分: 對時域信號求導。
時域積分: 對時域信號求積分。
頻域微分: 對頻譜函數求導（通常不直接操作）。
頻域積分: 對頻譜函數求積分（通常不直接操作）。
角頻率: 描述振蕩頻率的物理量。
虛數單位: 表示虛數的單位。
狄拉克δ函數: 一個理想化的脈沖函數。
濾波: 通過改變信號的頻譜成分來改變信號的特性。

概念解釋

時域微分和頻域的關系: 時域微分對應頻域乘以 jω，表示高頻成分被增強。
時域積分和頻域的關系: 時域積分對應頻域除以 jω，表示高頻成分被衰減。
狄拉克δ函數的作用: 在頻域積分中，狄拉克δ函數引入了一個常數項，表示直流成分。

一開始會總結一下前面的一些重要知識，書里面很離散。

先高后低

一直長高到平緩

Pn是脈沖，f(t)是任意的激勵，這個就是卷積公式推導使用的圖

f(t)所引起的響應就是所有沖擊函數單獨作用的響應之和

分別給出了-1,0,1時刻沖激引起的響應

卷積計算有著良好的代數性質

沖激函數的卷積就是自己的本身

自相關函數表示一個信號與自身延遲后的版本的相似性。它反映了信號的周期性、平穩性等特性。

噪聲抑制: 利用信號的自相關函數，可以提取出信號的周期成分，從而抑制噪聲。
信號檢測: 通過計算信號與已知信號的互相關函數，可以檢測信號中是否存在特定的模式。
系統辨識: 利用系統的輸入輸出信號的互相關函數，可以估計系統的沖激響應。

離散系統的時域分析！??！

單位序列

移位公式

加上移位的單位序列

單位階躍

階躍有一堆哦

在信號與系統中，反卷積（deconvolution）是指給定一個信號和一個已知的系統沖激響應，求解出原始輸入信號的過程。換句話說，就是將一個信號“還原”到其被系統卷積之前的狀態。

數學表達:假設輸入信號為x(t)，系統沖激響應為h(t)，輸出信號為y(t)，則卷積過程可以表示為：

y(t) = x(t) * h(t)

反卷積的目標就是找到一個信號x'(t)，使得：

y(t) * h'(t) ≈ x(t)

其中，h'(t)是h(t)的逆濾波器。

不適定問題: 反卷積通常是一個不適定問題，即解可能不唯一或者對噪聲非常敏感。反卷積過程往往會放大噪聲，導致恢復的信號質量下降。
逆濾波器的不穩定性: 當系統沖激響應的頻譜在某些頻率上接近于零時，逆濾波器會放大噪聲，導致解不穩定。
計算復雜度高: 特別是對于高維信號，反卷積的計算量非常大。

這里的這個表示有點怪

這個上面說是虛指數函數

指數型傅里葉級數

Fn是系數了

就是這個地方的F函數有點怪，Fe^jwt是一個虛指數函數了

虛指數函數是指指數部分為純虛數的函數，即形如 e^(jwt) 的函數，其中：

e: 自然對數的底數
j: 虛數單位，即根號-1
w: 角頻率，表示信號的頻率

復指數形式的正弦波: 虛指數函數與正弦波和余弦波有著密切的關系。根據歐拉公式，我們可以將虛指數函數展開為：

```
e^(jwt)?=?cos(wt)?+?jsin(wt)
```

虛指數函數實際上是正弦波和余弦波的線性組合。

頻域分析: 在傅里葉變換中，虛指數函數作為基函數，可以將時域信號分解為不同頻率的正弦波的線性組合。
周期性: 虛指數函數是周期函數，其周期為 2π/w。
微分性質: 虛指數函數的導數仍為虛指數函數，且形式非常簡單：
```
d/dt(e^(jwt)) = jw * e^(jwt)
```
傅里葉變換: 虛指數函數的傅里葉變換具有沖激函數的形式.

核心就是正交的分解

這個是周期信號的分解-實周期的信號

方波信號-傅里葉級數

這個就是倆種旋轉方式

指數型傅里葉級數的幾何含義

先來回顧一下傅里葉級數的本質。傅里葉級數的核心思想是將一個周期函數分解為一系列不同頻率的正弦函數和余弦函數的線性組合。從幾何角度來看，我們可以把這些正弦函數和余弦函數看作是不同頻率的旋轉向量。

簡化計算和表示，引入了指數形式的傅里葉級數。根據歐拉公式，我們可以將正弦函數和余弦函數表示為復指數函數的形式：

e^(jwt) = cos(wt) + jsin(wt)

其中，j是虛數單位，w是角頻率。

復平面上的旋轉向量: 每個復指數項e^(jwt)都可以看作是復平面上一個旋轉向量。隨著時間的推移，這個向量以角速度w繞原點旋轉。向量的大小代表了該頻率分量的幅值，而向量的相位則代表了該頻率分量的初相。
傅里葉級數的合成: 一個周期函數的傅里葉級數可以看作是無數個不同頻率、不同幅值和相位的旋轉向量的合成。這些旋轉向量在復平面上進行疊加，最終合成出原函數的波形。
頻譜: 傅里葉級數的系數可以看作是頻譜的幅值和相位。這些系數表示了原函數在不同頻率上的成分。在復平面上，頻譜可以表示為一個復數，其模表示幅值，其輻角表示相位。

傅里葉級數就像是一個樂隊，每個樂手演奏一個頻率的音符。通過調整每個樂手的音量（幅值）和演奏的起始時間（相位），樂隊可以演奏出各種各樣的曲子。

指數型傅里葉級數的幾何意義在于將周期函數分解為一系列旋轉向量。這些旋轉向量在復平面上進行疊加，最終合成出原函數的波形。

傅里葉級數-系數求解

傅里葉級數-三種表達方式(雙三角，余弦，復指數）

這是最基礎的三個級數表達方式。

周期信號的頻譜

周期信號分解成一系列正弦信號之和

以頻率為橫和相位,周期信號也就被唯一地表只要確定了這些頻率分量的幅值得到的圖就是頻譜。其中以幅值為縱坐標的圖稱為幅度坐標,分別以幅值、相位為縱坐標譜。譜,以相位為縱坐標的圖稱為相位譜。

一般情況下不論對對復信號而言,其僅具有指型傅里葉級數,故頻譜無單雙邊方實信號還是復信號,常使用指數傅里葉級數的頻譜。

這是一個實信號

需要轉換成COS

細節來了，SIN和COS之間的轉換。

相差π/2: SIN 函數和 COS 函數的圖形形狀完全相同，只是在橫軸上相差了 π/2（90度）。
數學表示:

sin(x) = cos(x - π/2)
cos(x) = sin(x + π/2)

復指數形式: 歐拉公式將指數函數與三角函數聯系起來：

e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
e^(-ix) = cos(x) - i*sin(x)

推導SIN和COS:

sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)
cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2

平方關系: sin2x + cos2x = 1
和角公式、差角公式: 利用和角公式和差角公式，可以將SIN和COS函數的和差轉化為單個函數。
平移: 將SIN函數的圖像向右平移π/2個單位，就得到了COS函數的圖像。
對稱: SIN函數和COS函數關于直線x = π/4對稱。

角頻率

定義: 角頻率ω（omega）是單位時間內振動的弧度數，表示旋轉運動的快慢。
單位: rad/s（弧度每秒）
與普通頻率f的關系: ω = 2πf，其中f為普通頻率，單位為Hz。
物理意義: 角頻率直觀地反映了信號振動的快慢。

基波角頻率

定義: 對于周期信號，基波角頻率ω?是構成該周期信號的基波（頻率最低的諧波）的角頻率。
意義: 基波角頻率是周期信號的一個重要特征，它決定了信號的周期。
諧波: 諧波是頻率為基波頻率整數倍的分量。

單邊譜和雙邊譜

傅里葉變換: 傅里葉變換將時域信號轉換為頻域信號，即頻譜。
單邊譜:

定義: 只包含非負頻率成分的頻譜。
特點: 直觀，符合人們對頻率的通常理解。
適用范圍: 主要用于表示實信號的頻譜。
局限性: 不能完全反映信號的全部信息，因為負頻率成分被忽略了。

雙邊譜:

定義: 包含正負頻率成分的頻譜。
特點: 能完整地表示信號的頻譜信息。
適用范圍: 適用于復信號和實信號。
物理意義: 負頻率成分通常與正頻率成分相共軛，反映了信號的相位信息。

實信號的單邊譜和雙邊譜: 對于實信號，其雙邊譜關于縱軸對稱。單邊譜是雙邊譜的非負頻率部分，幅度是雙邊譜對應頻率幅值的兩倍。
復信號的單邊譜和雙邊譜: 復信號的雙邊譜一般不具有對稱性，單邊譜無法完全代表雙邊譜。

正弦波: 其頻譜為一條垂直于頻率軸的線，對應于其頻率。
方波: 其頻譜為一系列幅值按1/n衰減的奇次諧波分量。

周期矩陣脈沖的頻率，后面推出來的這個函數叫取樣函數

指數形式的傅里葉級數

T相同，相鄰譜線之間間隔相同，脈沖寬度越窄，頻譜包絡線第一個零點的頻率越高。信號帶寬越寬，頻帶內所含的分量越多。

就這樣就取出來了

當分析非周期信號的傅里葉變換時

使用的是頻譜密度函數

把T乘到一邊，就會發現一個包絡函數出來了

這個是傅里葉的積分式，變換

也可以寫成三角形式

用函數性質得到

信號頻譜不能用幅度了，就用密度了

F(jw),頻譜密度函數

角頻率變f以后，正逆變換更一樣了

也可以寫成復數形式

單邊指數信號

頻譜

雙邊指數頻譜

這個是求解

還有這個

奇異函數是指在某個點或某個區間內具有無窮大值的函數。常見的奇異函數包括：

狄拉克δ函數（沖激函數）: 在原點處值為無窮大，而在其他點處值為0，且其積分等于1。
階躍函數: 在某個點之前值為0，在該點之后值為常數。

均勻譜

廣義函數版本：

那就是趨于無窮

已知門函數的傅里葉變換，所以可以得出這樣的結論

沖激函數一階導數的頻譜函數

n階是這樣的

沖激函數一階導數，也稱為沖激偶極子，通常表示為δ'(t)。它可以被視為一系列極窄的正負脈沖，其面積相等但符號相反。

結論： 沖激函數一階導數的傅里葉變換為 jω。

推導過程：

我們可以從沖激函數的傅里葉變換開始推導。沖激函數δ(t)的傅里葉變換為1：

F[δ(t)] = 1

根據傅里葉變換的微分性質，時域信號的微分對應于頻域信號乘以 jω：

設 f(t) 是一個時間域信號，其傅里葉變換為 F(ω)。則 f(t) 的一階導數 f'(t) 的傅里葉變換為：

F[f'(t)] = jωF(ω)

F[·] 表示傅里葉變換
j 是虛數單位
ω 是角頻率
頻率成分： 時域信號的微分操作會增強高頻成分，因為高頻成分的變化率更大。在頻域上表現為頻譜乘以一個線性相位因子 jω，使得高頻部分的幅值相對增大。
相位變化： 乘以 jω 相當于給頻譜引入了一個線性相位。這表明，時域信號的微分操作會改變信號各頻率成分的相位關系。

線性相位是指一個系統的頻率響應的相位部分與頻率成線性關系。換句話說，對于一個線性相位系統，不同頻率的信號通過系統后，它們的相位會發生一個固定的延遲，這個延遲與頻率成正比。

無失真傳輸： 線性相位系統不會引入額外的相位畸變，因此可以保證信號的波形在通過系統后不發生畸變，從而實現無失真傳輸。
脈沖響應的形狀保持： 線性相位系統可以保持輸入信號的脈沖形狀。
相位特性： 相位與頻率成線性關系，可以表示為：

φ(ω) = -τω

其中，φ(ω) 是相位，ω 是角頻率，τ 是一個常數，表示時延。

群延遲： 群延遲是指信號的不同頻率成分通過系統后產生的時間延遲。對于線性相位系統，群延遲是一個常數，即所有頻率成分的延遲相同。
脈沖響應： 線性相位系統的脈沖響應是一個關于時間軸對稱的函數。
FIR濾波器: FIR濾波器可以通過設計系數來實現線性相位。
IIR濾波器: 一般的IIR濾波器很難實現嚴格的線性相位，但可以通過一些特殊的結構來逼近線性相位。
線性相位： 相位與頻率呈線性關系，不會引入相位畸變。
非線性相位： 相位與頻率的關系是非線性的，會引起信號的相位畸變，導致信號波形的失真。

時域信號的微分相當于頻域信號乘以一個線性相位因子。

F[f'(t)] = jωF[f(t)]

將f(t)替換為沖激函數δ(t)，得到：

F[δ'(t)] = jωF[δ(t)] = jω

頻率成分： 沖激函數一階導數的頻譜是一個斜率為1的直線，這意味著它包含了所有頻率的成分，且高頻成分的幅值更大。
相位： 頻譜函數中的 j 表示相位為90度，即高頻成分相對于低頻成分有90度的相位超前。

它表明，一個包含高頻成分的信號，其時域表示往往具有較大的變化率。

系統分析: 在系統分析中，沖激偶極子可以用來表示系統的初始條件。
信號處理: 沖激偶極子可以用來模擬一些突變的信號，例如開關信號。
廣義函數: 沖激函數和它的導數都是廣義函數，在嚴格的數學意義上需要用分布理論來處理。
理想化模型: 沖激函數和它的導數都是理想化的數學模型，在實際物理系統中并不存在。

接下來是單位直流信號1的頻譜：

顯然不滿足絕對可積，但是FT存在

單位直流信號，也就是幅值為1的恒定信號。它的頻譜非常簡單：一個位于原點（頻率為0）的沖激函數。

為什么是個沖激函數？

直流信號的定義： 直流信號表示頻率為0的信號，也就是不隨時間變化的信號。
傅里葉變換的物理意義： 傅里葉變換將時域信號分解為不同頻率的正弦波的疊加。
對于直流信號來說，它只包含一個頻率為0的正弦波（即直流分量），因此在頻域上只對應一個沖激函數。
頻率成分： 單位直流信號只包含一個頻率成分，即直流分量。
能量集中： 所有的信號能量都集中在頻率為0的點上。
其他直流信號： 對于幅值不為1的直流信號，其頻譜的形狀與單位直流信號相同，只是沖激函數的高度不同。
階躍函數： 階躍函數可以看作是直流信號加上一個在t=0處有跳變的信號。因此，階躍函數的頻譜除了在原點處有一個沖激外，還包含其他頻率成分。

如果我們用 u(t) 表示單位直流信號，那么它的傅里葉變換 U(ω) 可以表示為：

U(ω) = 2πδ(ω)

δ(ω) 是狄拉克δ函數，表示一個位于原點的沖激。
2π 是一個歸一化常數，具體值取決于傅里葉變換的定義方式。

單位直流信號的頻譜圖就是一個位于原點處的高度為2π的沖激。

符號函數

是這個函數的極限

極限過程

頻譜形狀： 符號函數的頻譜是一個在原點處具有無窮大值的奇函數，且在其他頻率處衰減。
物理含義： 符號函數表示一個信號的極性，其頻譜表示該信號包含了所有頻率的成分，且高頻成分的幅值較小。

階躍函數（也稱為單位階躍函數）是一個在時間軸上從負無窮大到0時刻值為0，在0時刻跳變為1，之后保持不變的函數。通常用 u(t) 表示。

u(t) =   0,  t < 0  1,  t >= 0

階躍函數的傅里葉變換

階躍函數的傅里葉變換可以直接通過公式計算得到：

F[u(t)] = 1/(jω) + πδ(ω)

F[·] 表示傅里葉變換
j 是虛數單位
ω 是角頻率
δ(ω) 是狄拉克δ函數，表示一個位于原點的沖激
1/(jω)項： 這部分表示階躍函數的頻譜在除原點外的所有頻率上都有分量，且隨著頻率的增加，幅值逐漸減小。這反映了階躍函數在時域上突然變化的特性。
πδ(ω)項： 這部分表示階躍函數的直流分量，即頻率為0的分量。
系統分析: 階躍響應是分析系統性能的重要指標，而階躍函數的頻譜可以幫助我們了解系統的頻率響應特性。
信號處理: 階躍函數可以用來模擬一些突變的信號，例如開關信號。

系統的頻率響應特性是指當系統輸入為不同頻率的正弦信號時，系統輸出的穩態響應的幅值和相位與輸入信號頻率的關系。簡單來說，就是系統對不同頻率信號的“反應”能力。

頻率響應特性通常用以下兩種圖表示：

幅頻特性: 描述輸出信號的幅值與輸入信號頻率的關系。
相頻特性: 描述輸出信號的相位與輸入信號頻率的關系。

階躍函數的頻譜圖在原點處有一個無限高的沖激（包含一個直流分量和一個在其他頻率上衰減的分量），而在其他頻率上則是一個衰減的函數。階躍函數在時域上雖然是一個簡單的函數，但在頻域上卻包含了所有頻率的成分。

只有實信號有這個特點

實偶函數: 如果時域信號 f(t) 是實偶函數，即 f(-t) = f(t)，那么它的傅里葉變換 F(ω) 也是實偶函數。
實奇函數: 如果時域信號 f(t) 是實奇函數，即 f(-t) = -f(t)，那么它的傅里葉變換 F(ω) 是純虛奇函數。

一個實部一個虛部

對于任意實函數 f(t)，其傅里葉變換 F(ω) 滿足共軛對稱性：

F(-ω) = F*(ω)

其中，F*(ω) 表示 F(ω) 的共軛復數。

實偶函數: 表示信號關于時間軸對稱，其頻譜也關于頻率軸對稱，沒有相位信息。
實奇函數: 表示信號關于原點對稱，其頻譜為純虛數，表示信號的相位為±π/2。實奇函數的傅里葉變換是純虛奇函數。也就是說，實奇函數的頻譜關于原點對稱，且虛部為奇函數。
共軛對稱性: 表示實信號的頻譜具有共軛對稱性，即正頻率部分和負頻率部分互為共軛復數。