程序員必看：浮點數精度問題全解析

• 0、導讀
• 1、引言
• 2、浮點數存儲格式
• 3、轉換流程
• 3.1、將整數部分轉換為二進制
• 3.2、將小數部分轉為二進制
• 3.3、規范化
• 3.4、調整階碼
• 3.5、尾數舍入
• 3.6、組三元素
• 4、單/雙精度浮點數比較
• 4.1、存儲格式
• 4.2、精度
• 4.3、浮點數范圍
• 4.4、浮點數比較
• 5、階碼相關問題探索
• 5.1、什么是移碼
• 5.2、如何計算移碼
• 5.3、為什么要用移碼表示
• 6、指數e
• 6.1、指數范圍
• 6.2、特殊值
• 7、文中問題解答
• 8、參考鏈接
• 9、總結

0、導讀

這篇文章主要探討了浮點數在計算機中的表示、存儲和精度問題。通過詳細的解釋和示例，您將了解浮點數誤差的根源。文章內容較多，大約3700余字，閱讀時間約為10分鐘，建議先收藏，待有空時再細細品讀。

1、引言

0.1 + 0.2 為什么不等于 0.3 ？

當被問及浮點數為何存在誤差時，你將如何回答？

沒看完這篇文章之前你可能會回答:"哼，反正我就知道有誤差..."

閱讀完這篇文章后，你將能夠更準確地回答這類問題，讓我們開始這段學習之旅吧！

2、浮點數存儲格式

浮點型在內存中的存儲不是像整形那樣直接存儲的，而是用一種二進制的科學計數法來表示的,具體的數學表達式為

其中，e = E - 127

在計算機科學領域，IEEE 754 是一種標準，用于定義浮點數的表示方法，浮點型數據的存儲格式如下

請務必記住，尾數存儲用原碼，階碼存儲用移碼

• S(符號位)：0代表正數，1代表負數。
• E(階碼)：指數字段需要同時表示正指數和負指數。為了得到存儲的指數，在實際指數上加一個偏置，其中e=E-127。
• M(尾數)：一個規范化尾數就是小數點左邊只有一個1，然后是小數點后面的尾數部分。

注意本文后續使用的e表示科學計數法中的指數部分，E表示存儲格式中的階碼，默認的對象都指單精度的浮點數。

3、轉換流程

接下來我選擇了一個戀愛腦的數字，將1314.520轉換到32位單精度IEEE 754二進制浮點表示標準。

3.1、將整數部分轉換為二進制

將整數部分反復除以2，并記錄每次的余數，直到商為0為止。

division?=?quotient?+?remainder;
1314?÷?2?=?657?+?0;
657??÷?2?=?328?+?1;
328??÷?2?=?164?+?0;
164??÷?2?=?82??+?0;
82???÷?2?=?41??+?0;
41???÷?2?=?20??+?1;
20???÷?2?=?10??+?0;
10???÷?2?=?5???+?0;
5????÷?2?=?2???+?1;
2????÷?2?=?1???+?0;
1????÷?2?=?0???+?1;

從上面構造的列表的底部開始取所有余數，即為整數部分的二進制表示。1314₁₀=101 0010 0010₂

3.2、將小數部分轉為二進制

將小數部分不斷乘以2，并記錄每次的整數部分，直到小數部分為0或達到所需的精度為止

#) multiplying = integer + fractional part;
1) 0.52 × 2 = 1 + 0.04;
2) 0.04 × 2 = 0 + 0.08;
3) 0.08 × 2 = 0 + 0.16;
4) 0.16 × 2 = 0 + 0.32;
5) 0.32 × 2 = 0 + 0.64;
6) 0.64 × 2 = 1 + 0.28;
7) 0.28 × 2 = 0 + 0.56;
8) 0.56 × 2 = 1 + 0.12;
9) 0.12 × 2 = 0 + 0.24;
10) 0.24 × 2 = 0 + 0.48;
11) 0.48 × 2 = 0 + 0.96;
12) 0.96 × 2 = 1 + 0.92;
13) 0.92 × 2 = 1 + 0.84;
14) 0.84 × 2 = 1 + 0.68;
15) 0.68 × 2 = 1 + 0.36;
16) 0.36 × 2 = 0 + 0.72;
17) 0.72 × 2 = 1 + 0.44;
18) 0.44 × 2 = 0 + 0.88;
19) 0.88 × 2 = 1 + 0.76;
20) 0.76 × 2 = 1 + 0.52;
21) 0.52 × 2 = 1 + 0.04;
22) 0.04 × 2 = 0 + 0.08;
23) 0.08 × 2 = 0 + 0.16;
24) 0.16 × 2 = 0 + 0.32;

雖然我們沒有得到任何等于0的小數部分，但是我們有足夠的迭代(超過尾數限制)。

從頂部開始依次取乘法運算的所有整數部分，即為小數部分的二進制：0.52₁₀=0.1000 0101 0001 1110 1011 1000₂

3.3、規范化

前面得出了整數以及小數部分的二進制表示，合并以后即：

1314.52₁₀= 101 0010 0010.1000 0101 0001 1110 1011 1000₂

將小數點向左移動 10 位，使其左邊只剩下一位非零的數字

1314.52₁₀= 101 0010 0010.1000 0101 0001 1110 1011 1000₂= 101 0010 0010.1000 0101 0001 1110 1011 1000₂ ×2 ⁰= 1.0100 1000 1010 0001 0100 0111 1010 1110 00₂ ×2 ¹⁰

再回顧一下浮點數的數學表達式 V = (-1) ^s × M × 2 ^e 由此可知

s = 0
M = 1.0100 1000 1010 0001 0100 0111 1010 1110 00
e = 10

3.4、調整階碼

根據規范化得知指數 e = 10，又根據公式 e = E - 127 可得知道 E=137，所以八位階碼的二進制表示如下所示：

E = 137₁₀ = 1000 1001₂

3.5、尾數舍入

由第三步規范化得出的尾數M有34位，但是存儲格式中尾數只有23位，下面劃線的是多出的部分，所以需要對尾數按照一定的方式進行四舍五入。

M = 1. 0100 1000 1010 0001 0100 011 1 1010 1110 00

一共有四種舍入方式，

• 向偶數舍入，就近舍入(默認)。
• 朝0舍入：即朝數軸零點方向舍入，即直接截尾。
• 朝正無窮舍入：對正數而言，只要多余位不全為0則向最低有效位進1；負數則直接截尾。
• 朝負無窮舍入：對負數而言，向最低有效位進1；正數若多余位不全部為0則簡單截尾。

向偶數舍入，簡單理解就要讓尾數的最后一位為0，讓其保持偶數，能夠被2整除。當尾數的最低位為0時，已經是屬于偶數了，無需處理。當尾數最低位為1時，需要加1，使其保持偶數。

因為本例計算出尾數的最后一位為1，按照就近舍入(向偶舍入)原則需要加1使其保持偶數。

所以經過調整后的M為

M = 0100 1000 1010 0001 0100 011 + 1
M = 0100 1000 1010 0001 0100 100

3.6、組三元素

根據前面的步驟可以得知

s = 0
E = 1000 1001 ₂
M = 0100 1000 1010 0001 0100 100 ₂

1324.52₁₀ = 0-1000 1001-0100 1000 1010 0001 0100 100₂

我們去一個轉換網站上驗證一下轉換結果，網站鏈接放在文章末尾了。

可以看到，跟我們轉換的結果是相同的，說明網站轉換也是選擇向偶數舍入的。

4、單/雙精度浮點數比較

4.1、存儲格式

4.2、精度

浮點數的精度是由尾數的位數來決定的。

對于float型浮點數，尾數部分23位，換算成十進制就是 2^23=8388608，所以十進制精度只有6 ~ 7位；

這里的數字6和7可能會引起疑問，如何理解它們呢？

由于浮點數尾數的舍入問題，最后一位可能存在舍入誤差，因此不完全準確。因此，可以準確表示的是后六位，而第七位則可能含有誤差。

對于double型浮點數，尾數部分52位，換算成十進制就是 2^52 = 4503599627370496，所以十進制精度只有15 ~ 16位

4.3、浮點數范圍

4.4、浮點數比較

浮點數的比較通常用兩數之差的絕對值小于一個自定義的數值時，代表兩者相等，如下所示:

/**
?*Author:(公眾號:typedef)
?*/
#define?FLOAT_EPSILON?(0.000001)?//Define?your?own?tolerance
#define?FloatIsEqual(a,?b)?((fabs((a)-(b)))<(FLOAT_EPSILON))

另外一種方法是將浮點數同時放大一個倍數，然后轉成整數之間的比較，比如同時放大10000倍等。

5、階碼相關問題探索

首先階碼E是用移碼表示的，那么問題來了，什么叫移碼？移碼怎么計算？移碼的含義是？浮點數為什么要用移碼表示？

在解答這些知識點時，我們需要下面兩點需要達成一致

• 階碼使用的是非標準移碼
• 階碼是一個無符號的整數

5.1、什么是移碼

移碼是補碼表示中最高符號位取反的結果。舉個例子，上面計算1314.52時，指數是為10的。

+10₁₀ = 0000 1010₂（真值）

原碼：0000 1010
反碼：0000 1010
補碼：0000 1010
移碼：1000 1010

所以10對應標準的移碼 1000 1010 。

5.2、如何計算移碼

注意浮點數中移碼的計算是非標準的，僅偏移2^n-1-1=127。所以移碼的計算公式如下所示，其中n為階碼的位數：

E = e + 2 ^n-1 - 1
E = e + 127

所以10對應的移碼為137。

5.3、為什么要用移碼表示

它通過將數值加上一個固定的偏移量，使得原本可能是負數的數值變為非負數，從而簡化了計算機中有符號數的表示和比較操作。使得計算機能夠直接使用整數運算來比較浮點數的大小。

6、指數e

6.1、指數范圍

浮點數指數部分的實際取值范圍是 [-2^(e-1)+2, 2^(e-1)-1]，其中 e 為指數所占位數。32位浮點數，指數占8位，實際取值范圍是 [-126, 127]。

-127用作表示0，128 用作表示無窮大和 NaN。NaN 是 "Not a Number" 的縮寫，中文意思是“非數字”，通常用于表示一個未定義或不可表示的值。

換言之，8位階碼的表示范圍是[0, 255]，其中0和255用于表示特殊值。因此，根據公式推導，指數e的實際取值范圍是[-126, 127]。

6.2、特殊值

7、文中問題解答

此時再來回答文中引言提出的問題， 0.1 + 0.2 為什么不等于 0.3 ？

/**
?*?Author:(公眾號:typedef)
?*/
#include?

int?main()?{
??double?a?=?0.1?+?0.2;
??printf("%.17f",?a);
}

輸出為0.30000000000000004，由于在尾數舍入時會帶來一定的誤差，所以并不完全相等。

當在被問及浮點數為何存在誤差時，你將如何回答？歡迎文章留言說出你的看法。

如果不從技術的角度回答這個問題，可以這樣回答：整數是離散的，有限的并能夠被計算機表示的，小數部分是連續的，包含無窮多的數，數量之多是無法被計算機存儲的，只能存儲計算機能夠表示的最接近這個數值的小數部分，所以可能會不相等。

8、參考鏈接

• https://www.cnblogs.com/gyunf/p/12816817.html
• https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html
• https://zh.wikipedia.org/wiki/IEEE_754
• https://docs.pingcode.com/ask/304021.html

9、總結

本篇文章深入分析了浮點數的存儲格式到轉換流程，再到指數e以及階碼E的探索，大家應該對浮點數有了更全面的理解。

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