DC-DC升壓電路，如何選擇電感值

升壓拓撲結構在功率電子領域非常重要，但是電感值的選擇并不總是像通常假設的那樣簡單。在 dc - dc 升壓轉換器中，所選電感值會影響輸入電流紋波、輸出電容大小和瞬態(tài)響應。選擇正確的電感值有助于優(yōu)化轉換器尺寸與成本，并確保在所需的導通模式下工作。本文講述的是在一定范圍的輸入電壓下，計算電感值以維持所需紋波電流和所選導通模式的方法，并介紹了一種用于計算輸入電壓上限和下限模式邊界的數(shù)學方法。
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升壓轉換器的導通模式由相對于直流輸入電流 (I_IN) 的電感紋波電流峰峰值 (ΔI_L) 的大小決定。這個比率可定義為電感紋波系數(shù) (K_RF)。電感越高，紋波電流和 K_RF?就越低。

??(1) ， 其中 ???(2)
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在連續(xù)導通模式 (CCM) 中，正常開關周期內，瞬時電感電流不會達到零 (圖1)。因此，當 ΔI_L?小于 I_IN?的2倍或 K_RF?<2時，CCM 維持不變。MOSFET 或二極管必須以 CCM 導通。這種模式通常適用于中等功率和高功率轉換器，以最大限度地降低元件中電流的峰值和均方根值。當 K_RF?> 2 且每個開關周期內都允許電感電流衰減到零時，會出現(xiàn)非連續(xù)導通模式 (DCM) (圖2)。直到下一個開關周期開始前，電感電流保持為零，二極管和 MOSFET 都不導通。這一非導通時間即稱為 tidle。DCM 可提供更低的電感值，并避免輸出二極管反向恢復損耗。
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圖1?– CCM 運行
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圖2?– DCM 運行

當 K_RF?= 2 時，轉換器被認為處于臨界導通模式 (CrCM) 或邊界導通模式 (BCM)。在這種模式下，電感電流在周期結束時達到零，正如 MOSFET 會在下一周期開始時導通。對于需要一定范圍輸入電壓 ( V_IN）的應用，固定頻率轉換器通常在設計上能夠在最大負載的情況下在指定 V_IN?范圍內，以所需要的單一導通模式 (CCM 或 DCM) 工作。隨著負載減少，CCM 轉換器最終將進入 DCM 工作。在給定 V_IN?下，使導通模式發(fā)生變化的負載就是臨界負載（I_CRIT）。在給定 V_IN?下，引發(fā) CrCM / BCM 的電感值被稱為臨界電感（L_CRIT），通常發(fā)生于最大負載的情況下。

眾所周知，當輸入電壓為輸出電壓 (V_OUT) 的一半時，即占空比 (D) 為50％時 (圖3)，在連續(xù)導通模式下以固定輸出電壓工作的 DC－DC 升壓轉換器的電感紋波電流最大值就會出現(xiàn)。這可以通過數(shù)學方式來表示，即設置紋波電流相對于 D 的導數(shù) (切線的斜率) 等于零，并對 D 求解。簡單起見，假定轉換器能效為100％。
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根據???(3)、??(4) 和???(5),
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并通過 CCM 或 CrCM 的電感伏秒平衡??(6),
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則???(7).
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將導數(shù)設置為零, ????(8)
我們就能得出???(9). ??

圖3?– CCM 中的電感紋波電流

為了選擇 CCM 升壓轉換器的電感值 (L)，需要選擇最高 K_RF?值，確保整個輸入電壓范圍內都能夠以 CCM 工作，并避免峰值電流受 MOSFET、二極管和輸出電容影響。然后計算得出最小電感值。K_RF?最高值通常選在0.3和0.6之間，但對于 CCM 可以高達2.0。如前所述，當 D = 0.5 時，出現(xiàn)紋波電流 ΔI_L?最大值。那么，多少占空比的情況下會出現(xiàn) K_RF?最大值呢？我們可以通過派生方法來求得。

假設 η = 100%， 則???(10), ?
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然后將(2)、(6)、(7) 和 (10) 代入(1) ，得出:
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?(11)??????????????????????????
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??(12). ?
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對 D 求解，可得??(13).

D = 1 這一偽解可被忽略，因為它在穩(wěn)態(tài)下實際上是不可能出現(xiàn)的 (對于升壓轉換器，占空比必須小于1.0)。因此，當 D =? 或 V_IN?= ?V_OUT?時的紋波因數(shù) K_RF?最高，如圖4所示。使用同樣的方法還能得出在同一點的最大值 L_MIN、L_CRIT?和 I_CRIT。?

圖4?– 當 D =? 時 CCM 紋波系數(shù) K_RF?最高值

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對于 CCM 工作，最小電感值 (L_MIN)應在最接近 ? V_OUT?的實際工作輸入電壓 (V_IN(CCM)) 下進行計算。根據應用的具體輸入電壓范圍，V_IN(CCM)?可能出現(xiàn)在最小 V_IN、最大 V_IN、或其間的某個位置。解方程 (5) 求 L，并根據 V_IN(CCM)?下的 K_RF?重新計算，可得出

??(14)，其中 V_IN(CCM)?為最接近?V_OUT?的實際工作 V_IN。??
???
對于臨界電感與 V_IN?和 I_OUT?的變化，KRF?= 2，可得出
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??(15).
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在給定 V_IN?和 L 值的條件下，當 K_RF?= 2時，即出現(xiàn)臨界負載 (I_CRIT)：
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??(16)
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如圖5所示，在一定工作 V_IN?和輸出電流 (I_OUT) 下的電感值小于 L_CRIT?時，DCM 模式工作保持不變。對于 DCM 轉換器，可選擇最短的空閑時間以確保整個輸入電壓范圍內均為 DCM 工作。tidle 最小值通常為開關周期的3％-5％，但可能會更長，代價是器件峰值電流升高。然后采用 tidle 最小值來計算最大電感值 (L_MAX)。L_MAX?必須低于 V_IN?范圍內的最低 L_CRIT。對于給定的 V_IN，電感值等于 L_CRIT?(tidle= 0) 時引發(fā) CrCM。
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圖5?– L_CRIT?與標準化 V_IN?的變化

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為計算所選最小空閑時間 (tidle_(min)) 的 L_MAX，首先使用 DCM 伏秒平衡方程求出 t_ON(max)?(所允許的 MOSFET 導通時間最大值) 與 V_IN?的函數(shù)，其中 t_dis?為電感放電時間。
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??(17)，其中

???(18)
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可得出
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??(19).
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平均 (直流) 電感電流等于轉換器直流輸入電流，通過重新排列 (17)，可得出 t_dis?相對于 t_ON?的函數(shù)。簡單起見，我們將再次假設 P_IN?= P_OUT。
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??(20) ，其中??(21).
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將方程 (3)、(5)、(10)、(19) 和 (21) 代入 (20)，求得 V_IN?(DCM)?下的 L
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??(22).
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L_MAX?遵循類似于 L_CRIT?的曲線，且同在 V_IN?= ?V_OUT?時達到峰值。為確保最小 tidle，要計算與此工作點相反的實際工作輸入電壓 (V_IN?_(DCM)) 下的最低 L_MAX?值。根據應用的實際輸入電壓范圍，V_IN(DCM)?將等于最小或最大工作 V_IN。若整體輸入電壓范圍高于或低于 ? V_OUT（含? V_OUT），則 V_IN(DCM)?是距 ? V_OUT?最遠的輸入電壓。若輸入電壓范圍覆蓋到了 ? V_OUT，則在最小和最大 V_IN?處計算電感，并選擇較低 (最差情況下) 的電感值。或者，以圖表方式對 V_IN?進行評估，以確定最差情況。
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當升壓轉換器的輸出電流小于 I_CRIT?與 V_IN?的最大值時，如果輸入電壓增加到高于上限模式邊界或下降到低于下限模式邊界，即 I_OUT?大于 I_CRIT?時，則將引發(fā) CCM 工作。而 DCM 工作則發(fā)生于兩個 V_IN?的模式邊界之間，即 I_OUT?小于 I_CRIT?時。要想以圖表方式呈現(xiàn) V_IN?下的這些導通模式邊界，在相同圖表中繪制臨界負載 (使用所選電感器) 與輸入電壓和相關輸出電流的變化曲線。然后在 X 軸上找到與兩條曲線相交的兩個 V_IN?值 (圖6)。

圖6?– 輸入電壓模式邊界

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要想以代數(shù)方式呈現(xiàn) V_IN?的模式邊界，首先將臨界負載的表達式設置為等于相關輸出電流，以查找交點：
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??(23).
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這可以重寫為一個三次方程，K_CM?可通過常數(shù)計算得出
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??(24) ????其中

??(25).
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這里，三次方程通式 x3 + ax2 + bx + c = 0 的三個解可通過三次方程的三角函數(shù)解法得出 [1] [2]。在此情況下，x1 項的“b”系數(shù)為零。我們將解定義為矢量 V_MB。
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我們知道
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??(26)、 ?

????(27)、 ??以及

??(28),
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????(29).
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由于升壓轉換器的物理限制，任何 V_MB?≤ 0或V_MB?> V_OUT?的解均可忽略。兩個正解均為模式邊界處 V_IN?的有效值。
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我們假設一個具有以下規(guī)格的 DCM 升壓轉換器：
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V_OUT??= 12 V
I_OUT??= 1 A
L ?= 6 μH
F_SW??= 100 kHz
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首先，通過 (25) 和 (28) 計算得出 K_CM?和 θ：
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將 V_OUT?和計算所得的 θ 值代入 (29)，得出模式邊界處的 V_IN?值：
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.
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忽略偽解 (-3.36 V)，我們在 4.95 V 和 10.40 V 得到兩個輸入電壓模式邊界。這些計算值與圖7所示的交點相符。
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圖7?– 計算得出的模式邊界

電感值會影響升壓轉換器的諸多方面，若選擇不當，可能會導致成本過高、尺寸過大、或性能不佳。通過了解電感值、紋波電流、占空比和導通模式之間的關系，設計人員就能夠確保輸入電壓范圍內的所需性能。
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[1]?H. W. Turnbull, Theory of Equations, Chapter IX, Edinburgh & London: Oliver and Boyd, 1952.

[2]?I. J. Zucker, "The cubic equation - a new look at the irreducible case,"?The Mathematical Gazette,?vol. 92, no. 524, pp. 264-268, July 2008.

來源：硬件筆記本

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