奈奎斯特-香農定理：了解采樣系統

奈奎斯特采樣定理，或更準確地說是奈奎斯特-香農定理，是支配混合信號電子系統設計的基本理論原則。

如果沒有模數轉換和數模轉換，就不會存在我們所知道的現代技術。事實上，這些操作已經變得如此普遍，以至于說模擬信號可以轉換為數字信號再轉換回模擬信號而不會丟失任何重大信息，這聽起來像是不言而喻。

但是我們怎么知道確實是這樣呢？為什么采樣是一種非破壞性操作，當它似乎丟棄了我們在各個樣本之間觀察到的如此多的信號行為時？

我們究竟如何從一個看起來像這樣的信號開始：

并將其數字化為：

?

然后還敢聲稱可以在不丟失信息的情況下恢復原始信號？

奈奎斯特-香農定理

這樣的說法是可能的，因為它符合現代電氣工程最重要的原則之一：

如果系統以超過信號最高頻率至少兩倍的速率對模擬信號進行均勻采樣，則可以從采樣產生的離散值中完美地恢復原始模擬信號。

關于這個定理還有很多要說的，但首先，讓我們試著弄清楚如何稱呼它。

香農？奈奎斯特？科捷利尼科夫？惠特克？

我當然不是決定誰應該因制定、證明或解釋香農-奈奎斯特-科特尼科夫-惠特克采樣和插值理論而獲得最多榮譽的人。所有這四個人都有某種顯著的參與。

然而，Harry Nyquist 的角色似乎已經超出了其原有的意義。例如，在Tan 和 Jiang 的Digital Signal Processing: Fundamentals and Applications中，上述原理被確定為“Shannon sampling theorem”，在Sedra 和 Smith 的Microelectronic Circuits中，我發現以下句子：“The fact that we可以對有限數量的樣本進行處理……而忽略樣本之間的模擬信號細節是基于……香農的采樣定理?！?/span>

因此，我們可能應該避免使用“奈奎斯特采樣定理”或“奈奎斯特采樣理論”。如果我們需要將一個名稱與這個概念相關聯，我建議我們只包括 Shannon 或包括 Nyquist 和 Shannon。事實上，也許是時候過渡到更匿名的東西了，比如“基本采樣定理”。

如果您覺得這有點迷惑，請記住，上述采樣定理與奈奎斯特速率不同，后者將在本文后面進行解釋。我認為沒有人試圖將奈奎斯特與其速率分開，所以我們最終得到了一個很好的折衷方案：香農得到定理，奈奎斯特得到速率。

時域采樣理論

如果我們將采樣定理應用于頻率為 f SIGNAL的正弦波，如果我們想要實現完美重建，就必須在 f SAMPLE ≥ 2f SIGNAL處對波形進行采樣。換句話說，我們每個正弦周期至少需要兩個樣本。讓我們首先嘗試通過在時域中思考來理解這個要求。

在下圖中，正弦波的采樣頻率遠高于信號頻率。

每個圓圈代表一個采樣時刻，即測量模擬電壓并將其轉換為數字的精確時刻。

為了更好地可視化此采樣過程為我們提供的內容，我們可以繪制樣本值，然后用直線將它們連接起來。下圖中顯示的直線近似看起來與原始信號完全一樣：采樣頻率相對于信號頻率非常高，因此線段與相應的曲線正弦曲線段沒有明顯不同。

當我們降低采樣頻率時，直線近似的外觀與原來的不同。

每個周期 20 個樣本（f樣本= 20f信號）?

每個周期 10 個樣本（f樣本= 10f信號）?

每個周期 5 個樣本（f樣本= 5f信號）?

在 f?SAMPLE?= 5f?SIGNAL時，離散時間波形不再是連續時間波形的令人滿意的表示。但是請注意，我們仍然可以清楚地識別離散時間波形的頻率。信號的循環性質并沒有丟失。

閾值：每個周期兩個樣本

當我們將每個周期的樣本數減少到五個以下時，采樣產生的數據點將繼續保留模擬信號的循環性質。然而，最終我們達到了頻率信息被破壞的程度。考慮以下情節：

每個周期 2 個樣本（f樣本= 2f信號）

當 f?SAMPLE?= 2f?SIGNAL時，正弦曲線形狀完全消失。盡管如此，采樣數據點產生的三角波并沒有改變正弦波的基本周期性。三角波的頻率與原始信號的頻率相同。

但是，一旦我們將采樣頻率降低到每個周期少于兩個樣本的程度，就無法再做出這種說法。因此，對于原始波形中的最高頻率，每個周期兩個樣本是混合信號系統中至關重要的閾值，相應的采樣頻率稱為奈奎斯特速率：

如果我們以低于奈奎斯特速率的頻率對模擬信號進行采樣，我們將無法完美地重建原始信號。???

接下來的兩個圖展示了當采樣頻率降至奈奎斯特速率以下時發生的循環等效性損失。

每個周期 2 個樣本（f樣本= 2f信號）?

每個周期 1.9 個樣本（f樣本= 1.9f信號）?

在 f?SAMPLE?= 1.9f?SIGNAL時，離散時間波形從根本上獲得了新的循環行為。采樣模式的完全重復需要一個以上的正弦周期。

然而，當我們每個周期有 1.9 個樣本時，采樣頻率不足的影響有點難以解釋。接下來的情節使情況更加明朗。

每個周期 1.1 個樣本（f樣本= 1.1f信號）

如果您對正弦曲線一無所知并使用以 1.1f SIGNAL采樣產生的離散時間波形進行分析，您將對原始信號的頻率形成嚴重錯誤的想法。此外，如果您擁有的只是離散數據，則不可能知道頻率特性已被破壞。采樣創建了原始信號中不存在的新頻率，但您不知道該頻率不存在。

底線是：當我們以低于奈奎斯特速率的頻率進行采樣時，信息將永久丟失，并且無法完美地重建原始信號。

結論

我們已經介紹了香農采樣定理和奈奎斯特速率，并且我們試圖通過觀察時域中采樣的影響來深入了解這些概念。在下一篇文章中，我們將從頻域的角度探討這個話題。

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