濾波重建
本文繼續(xù)討論了采樣定理，解釋了其在實(shí)際混合信號系統(tǒng)中的重要性。
今天，我們需要考慮這個(gè)定理在指導(dǎo)以設(shè)計(jì)功能電路和系統(tǒng)為目標(biāo)的電氣工程師的決策中的作用。
香農(nóng)采樣定理的闡述如下：
如果一個(gè)系統(tǒng)以超過信號最高頻率至少兩倍的速率對模擬信號進(jìn)行均勻采樣，那么原始模擬信號就能從采樣產(chǎn)生的離散值中完全恢復(fù)。
用理論指導(dǎo)實(shí)踐，但并沒有具體的說明。換句話說，香農(nóng)定理并沒有告訴我們?nèi)绾卧O(shè)計(jì)一個(gè)采樣系統(tǒng)；相反，它只幫助我們?nèi)ダ斫獠蓸酉到y(tǒng)，并提供了一個(gè)指導(dǎo)和支持工程師工作的框架。因此，了解理論和實(shí)踐的差異是很重要的，在采樣理論中，也許最重要的差異就是所需的采樣率。
采樣和混疊
在上一篇文章中，我們看到當(dāng)采樣頻率（fS）小于最大信號頻率（fMAX）的兩倍時(shí)，就會(huì)引起混疊，從而使子頻譜重疊。
我認(rèn)為，大多數(shù)人們都會(huì)自然地將“混疊”一詞理解為固有的消極的含義，這是一個(gè)必須避免的潛在問題。然而，廣義上的混疊是將信號從連續(xù)波形轉(zhuǎn)換為離散值序列的一個(gè)組成部分。
我一直使用“子頻譜”這個(gè)詞來指代采樣產(chǎn)生的頻譜副本，但更加正式的名稱應(yīng)該是混疊。
我們創(chuàng)造混疊，原始信號頻率“偽裝”成不同的頻率——每次我們進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)，無論采樣率如何。當(dāng)采樣數(shù)據(jù)從數(shù)字轉(zhuǎn)換回模擬時(shí)，這些混疊便成為了模擬信號的一部分，因此D/A轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的模擬信號與采樣信號不同。所以，如果我們想要完美地重構(gòu)原始模擬信號，就必須消除混疊的影響。
正如我們所知道的，為了防止由混疊引起的信號被破壞，我們需要以奈奎斯特速率或更高的速率進(jìn)行采樣。如果我們不遵守這個(gè)基本要求，那么就無法消除混疊——盡管我們可以一目了然地看到采樣數(shù)據(jù)，但混疊已經(jīng)永久地與原始頻譜混合在一起了，我們無法將其區(qū)分開來。
但是，信號重構(gòu)只能從足夠的采樣頻率開始。而第二個(gè)基本要求，則是低通濾波。
濾波重建
如果我們以高于奈奎斯特速率進(jìn)行采樣，則仍然會(huì)有混疊，但現(xiàn)在真實(shí)頻譜與混疊頻譜之間存在著差距：
這使得我們可以通過將數(shù)字化波形轉(zhuǎn)換為模擬波形，然后使用低通濾波器來恢復(fù)原始信號：
用來消除（或者更確切地說是減輕）重構(gòu)模擬信號中混疊影響的低通濾波器，稱之為重建濾波器。這是在D/A轉(zhuǎn)換后應(yīng)用的模擬濾波器。這里，我用斜體字強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：
第一，我們不能通過數(shù)字濾波來消除混疊。混疊是采樣的量化數(shù)據(jù)的固有屬性，因此無法在數(shù)字領(lǐng)域中消除（盡管過采樣和插值可以降低模擬濾波的要求）。
第二，重建濾波器是用來消除混疊的，但它不是抗混疊濾波器！“抗混疊濾波器”指的是在A/D轉(zhuǎn)換之前應(yīng)用的低通濾波器。
理想濾波器vs真實(shí)濾波器
如果你仔細(xì)思考一下前面的圖表，你可能會(huì)開始理解為什么香農(nóng)定理不是設(shè)計(jì)混合信號電子系統(tǒng)的“操作”指南了。如果我們將采樣率降低到理論極限，那么傅立葉變換看起來就是這樣的：
在理想的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我們?nèi)匀豢梢詤^(qū)分真實(shí)頻譜與混疊頻譜。然而，物理分量不能創(chuàng)造具有“磚墻”類型的頻率響應(yīng)，而是需要垂直向下切分，從而完美地過濾掉不需要的頻率內(nèi)容：
此外，我們通常更傾向于避免使用接近“磚墻”響應(yīng)的過濾器所需的成本、復(fù)雜性和板空間。取而代之的是，我們使用過采樣。
通過以遠(yuǎn)高于奈奎斯特速率的速率對信號進(jìn)行采樣，我們可以確保真實(shí)頻譜與最近的混疊之間存在較大的頻率間隔。這個(gè)較大的間隔使得我們更容易構(gòu)建有效的重建濾波器，因?yàn)榉软憫?yīng)會(huì)緩慢下降，并且仍然會(huì)在混疊頻譜上產(chǎn)生明顯的衰減。通過大量的過采樣，即使是一階RC低通濾波器也可以提供足夠的混疊抑制。
在指定的應(yīng)用程序中，需要多少過采樣并沒有固定的規(guī)則，但我喜歡采樣率至少是最高信號頻率的五倍。如果你的信號頻率接近ADC的最大采樣率，那么你可能需要更接近奈奎斯特速率才行，然后投入更多的時(shí)間和金錢在你的重建濾波器上。
結(jié) 語
通過本文我們看到，香農(nóng)采樣定理需要適應(yīng)實(shí)際電路設(shè)計(jì)的約束，盡管當(dāng)采樣率等于最高信號頻率的兩倍時(shí)，完美重構(gòu)在數(shù)學(xué)上是可能實(shí)現(xiàn)的，但這種方法需要理想化的低通濾波器，因此不能直接適用于工程系統(tǒng)。
至于我提到的另一個(gè)重要問題，重建濾波器與抗混疊濾波器之間的區(qū)別，我們將在下一篇文章中進(jìn)行討論。
最后，需要說明一下，由于個(gè)人能力有限，有些詞句可能翻譯得比較生硬，建議有英文閱讀能力的小伙伴兒一定要去閱讀原文。另外，文中翻譯如有不當(dāng)之處，還請批評指正。
作者：Robert Keim
編譯：蔡璐
來源：ALL ABOUT CIRCUITS
【2】編程語言那么多，為什么偏偏是C語言成了大學(xué)的必修課？
【3】終于整理齊了，電子工程師“設(shè)計(jì)錦囊”，你值得擁有！
【4】半導(dǎo)體行業(yè)的人都在關(guān)注這幾個(gè)公眾號
