什么是雙狄拉克模型？雙狄拉克模型的價值和實際應用

什么是雙狄拉克模型？

雙狄拉克模型是一種快速估算低誤碼率 TJ(BER) 下的總抖動的工具。抖動信號的確定性和隨機子分量在模型范圍內分離，以產生兩個量，即均方根隨機抖動 (RJ) 和峰峰值確定性抖動的模型相關形式 DJ(δδ)。然后根據 RJ 和 DJ(δδ) 估算系統的總抖動。

雙狄拉克模型因其在快速估計以誤碼率 TJ(BER) 定義的總抖動方面的實用性以及提供將來自不同網絡元素的 TJ(BER) 組合起來的機制而得到普遍接受。它依賴于以下的五個假設。

雙狄拉克模型假設

低 BER 下的 TJ(BER) 測量只能在誤碼率測試儀 (BERT) 上進行，并且需要傳輸大約 10/BER 位 1 所需的時間（例如，測量 TJ(10–12) 大約需要 70 分鐘）。

前兩個假設是抖動是由隨機和確定性過程的組合引起的，這些過程的分布可以分離，并且 RJ 遵循高斯分布，這是行業范圍內的標準假設；它們是雙狄拉克模型如何從相對較低的統計數據測量中估計 TJ(BER) 的關鍵。

抖動的分量通過卷積組合在一起。我們可以認為抖動分布（例如眼圖交叉點的直方圖）有三個區域：在交叉點處，分布以 DJ 為主；在距離交叉點較遠的時間延遲處，分布越來越以 RJ 為主，直到遠離交叉點，在漸近極限中，尾部遵循高斯 RJ 分布。分布的漸近尾部通常會導致 BER < 10–8 級別的錯誤。確定尾部行為（因此，TJ(BER)）的理想方法是對 RJ 和 DJ 進行反卷積。但如果事先不知道 DJ 分布，就沒有實際的方法來對分布進行反卷積。

圖 2. 兩個相隔 DJ 的 delta 函數之和與寬度為 σ 的高斯 RJ 分布的卷積。雙狄拉克近似的基本假設是，任何抖動分布都可以通過這種方式建模。

圖 2 中的雙狄拉克模型提供了最簡單的分布：交叉點被分成兩個狄拉克-delta函數，分別位于 μL 和 μR，即 DJ 主導區域，然后是人為突然過渡到 RJ 主導尾部。有很多方法可以實現雙狄拉克模型，在所有這些方法中，估計 TJ(BER) 都是描述抖動分布尾部的問題，兩個寬度為 σ 的高斯尾部相隔一個固定量 DJ(δδ) ≡ |μL – μR|：

雙狄拉克模型是對抖動分布外邊緣的高斯近似，由 DJ(δδ) 位移。

從概念上講，認為 DJ 閉合眼圖一個固定量 DJ(δδ)，而高斯 RJ 尾部閉合眼圖的量取決于感興趣的誤碼率。一旦測量了 σ 和 DJ(δδ)，就可以使用以下公式估計任何 BER 下的眼圖閉合情況：

其中 QBER 是根據互補誤差函數計算得出的，如表1 所示。由于 σ 乘以 2 QBER，因此 TJ(BER) 的精度首先取決于 RJ 測量的精度 σ，其次取決于 DJ(δδ) 測量的精度。

DJ(δδ) 是一個模型相關量，必須在假設 DJ 遵循由兩個狄拉克-delta 函數形成的分布的情況下得出，如圖 21 所示。通常，

雖然 DJ(δδ) 總是可以測量的，但 DJ(p-p) 只能在特殊情況下測量。例如，當 DJ 僅由數據相關抖動 (DDJ) 組成時，可以通過比較重復數據模式的平均轉換時間來測量。當 DJ(δδ) 被誤認為是 DJ(p-p) 的估計值時，不等式 (2) 可能會造成混淆；例如，DJ(δδ) 可能小于 DJ 的一個子分量，但 DJ(p-p) 不能小于它的一個子分量。

不等式 (2) 是雙狄拉克模型的結果，但不會降低該模型的實用性。相反，DJ(δδ) 滿足標準機構感興趣的量的兩個必要要求：

DJ(δδ) 定義明確且可觀測，DJ(δδ) 也可以在各種不同類型的測試設備上測量。另一方面，真正的峰峰值 DJ DJ(p-p) 只能在特殊情況下測量，對估計 TJ(BER) 毫無用處，對診斷問題也沒有任何幫助。

當經過深思熟慮的標準提到 DJ 時，它們所指的就是 DJ(δδ)，無論是明確還是隱含的。

一旦獲得了給定網絡元素的 DJ(δδ) 和 σ 值，就可以使用以下規則估計元素組合的值：

簡單的規則，即方程 (1) 和 (3)，為標準委員會提供了一種在系統組件之間劃分 BER 預算的簡單方法。請注意，在方程 (3) 中，σTotal 等于平方和，但 DJ(δδ)Total 是 DJ(δδ)i 和的近似值，區別在下面內容中進行了解釋。

我們從第 2 節開始，使用一些定義誤碼率和 TJ(BER) 的背景材料。

第 3 節對雙狄拉克模型進行了精確描述，包括 Q 尺度表示，以及該模型如何提供一種簡單的技術來組合不同網絡元素的 TJ(BER) 來估計系統的 TJ(BER)，即方程 (3)。

在第 4 節中，我們討論了該模型的不同實現，找出了常見的缺陷，并展示了特定系統中 DJ(δδ) 和 DJ(p-p) 之間的關系，以及在簡單的雙狄拉克實現中 σ 和 TJ(BER) 的估計準確度。在第 5 節中，我們最后討論了行業標準假設的準確性，并進行了簡要總結。

根據比特誤碼率BER定義的總抖動

不相關的抖動分布通過卷積組合。業界普遍認為，隨機抖動 (RJ) 遵循高斯分布，與所有 DJ源無關。概率密度函數或抖動分布可以通過制作眼圖交叉點的直方圖（圖 4a）來測量。抖動分布 J(x)（圖 4b）可以描述為 RJ(x)_DJ(x)，其中 DJ(x) 的函數形式通常不為人所知，甚至無法觀察到，但 RJ(x) 由高斯分布給出，其寬度為 σ，x 是時間延遲或眼圖的水平軸。

如果我們將抖動分布寫為

其中 (x, V) 是采樣點的位置，而 Nerr(x, V) 是從總共 N 個傳輸位中檢測到的錯誤數。例如，如果在采樣時間延遲 x 時觀察到的電位（或者，對于差分信號，差分線路上兩個電位的差）大于 V，則在邏輯“0”位上檢測到錯誤。在本文檔中，我們假設所有錯誤都由時間誤差（即抖動）單獨導致，這意味著我們可以測量 BER 對時間延遲 x 的依賴性，而不必擔心幅度噪聲。

圖 5. 浴盆圖或 BERTscan；誤碼率作為采樣點延遲 x 的函數。

BER 對 x 的依賴性是 TJ(BER) 定義的核心。通過掃描眼圖上采樣點的時間延遲位置，可以在誤碼率測試儀上測量浴缸圖 BER(x)，如圖 5 所示。BER(x) 也可以從抖動分布 J(x) 中得出。由于 BER(x) 由跨采樣點時間位置 x 波動的邏輯轉換概率給出，如果我們考慮圖 4a 的左邊緣，則跨點 x 波動的轉換概率由下式給出

其中 ρr 是邏輯轉換數與總位數的比率，即轉換密度。

同樣，在眼圖右側，靠近 x = TB，

以便

給定 BER 下的眼圖張開度 t(BER) 由給定 BER 下的左 BER 曲線和右 BER 曲線的分離給出。例如，在圖 4 中，BER = 10–12 下的眼圖張開度由 xL 和 xR 之差給出 - 即 BER = 10–12 的點。正式地，如果我們反轉 BER(x) 以得到 x(BER)，那么

TJ(BER) 定義為在給定 BER 下由于抖動而導致的眼圖閉合量；也就是說，TJ(BER) 是比特周期與眼圖張開之間的差值：

雙狄拉克模型的實際應用

雙狄拉克近似背后的基本假設是，任何確定性抖動分布都可以通過兩個相隔 DJ 的 delta 函數來近似。在這種特殊情況下，DJ(δδ) = DJ(p-p)。緊隨雙狄拉克的抖動分布可能是純占空比失真 (DCD) 或方波相位調制的結果，但在實際應用中，它要復雜得多。

單獨的抖動分量通過卷積組合在一起——將一個分布折疊到另一個分布上的數學過程，等式 (6)——了解卷積過程非常重要。為了說明 RJ 和 DJ 如何卷積，可以將平滑的高斯 RJ 視為施加在有界 DJ 分布上的涂抹函數。

圖 6. 雙狄拉克模型在兩種理想情況下的應用。在 (a) 中，虛線 DJ 分布由單一頻率的正弦抖動引起，在 (b) 中，虛線有界、恒定（方波）DJ 分布可能由三角波相位調制引起。在這些示例中，σ = 0.15xDJ(p-p)，實線是卷積抖動分布，虛線點線是雙狄拉克近似。垂直線表示雙狄拉克模型設置高斯均值 μR 和 μL 的位置

在圖 6a 中，虛線 DJ 分布由單個頻率的正弦抖動給出，在圖 6b 中，由平坦的有界 DJ 分布給出。DJ 分布與高斯卷積產生平滑的實線。卷積的效果是平滑 DJ 分布的尖銳邊緣，并且 J(x) 獲得其高斯尾部。請注意卷積的平滑效果如何將尖銳的 DJ 邊緣向內帶走。

圖 6 中的垂直線設置在 μR 和 μL 處，表明不等式 DJ(δδ) = |μR – μL | < DJ(p-p)。兩個高斯曲線（點劃線）給出了實線的雙狄拉克近似。雙狄拉克分布的中心部分與實際分布不匹配并不重要；重要的特征是高斯尾部與真實抖動分布的尾部匹配，如公式 (7) 所示，因此可以使用公式 (9) 至 (12) 估算 TJ(BER)。

需要更多信息，您可點擊：抖動分析：雙狄拉克模型

本文提供了雙狄拉克模型的完整描述、它在技術標準中的使用方式以及它在不同類型的測試設備上的應用方式的摘要。詳細描述了 Q 尺度公式，用于提供模型特征的簡單視覺描述，并展示模型的不同實現如何導致不同的結果。有關抖動分析的介紹，請參閱參考資料。

雙狄拉克模型是一種快速估算低誤碼率 TJ(BER) 下的總抖動的工具。

抖動信號的確定性和隨機子分量在模型范圍內分離，以產生兩個量，即均方根隨機抖動 (RJ) 和峰間確定性抖動 DJ(δδ) 的模型相關形式。然后根據 RJ 和 DJ(δδ) 估算系統的總抖動。

本文提供了雙狄拉克模型的完整描述、它在技術標準中的使用方式以及它在不同類型的測試設備上的應用摘要。詳細描述了 Q 尺度公式，用于提供模型特征的簡單視覺描述，并展示模型的不同實現如何導致不同的結果。

雙狄拉克模型：

? 提供一種快速估算低 BER 下的 TJ(BER) 的有效方法。

? 建立在 RJ 遵循高斯分布的假設之上，該分布可以用單個參數 σ 來描述

? 定義可觀測的 DJ(δδ)，該 DJ(δδ) 可以通過多種不同的方式測量，但不應與真正的峰峰值 DJ DJ(p-p) 混淆。通常，DJ(δδ) < DJ(p-p)。

? 提供一種透明的方法來結合不同網絡元素的 σ 和 DJ(δδ) 來估算系統的 TJ(BER)。

? 提供可觀測的、定義明確的量以用于技術標準。

? 可以以不同的方式應用，這些方式具有不同的系統不確定性，可能導致不同的錯誤，從而使結果的比較變得困難。

? 最準確地實現方法是通過 Keysight 86100C DCA-J 中引入的技術，該技術結合了與測試模式相關的抖動硬件分離和與定時噪聲 σ 的直接測量不相關的抖動。