利用Wolfram語(yǔ)言(Mathematica)的靈活性，您可以在軟件中重建線性網(wǎng)絡(luò)的行為。在本文中，我們將研究電子學(xué)中的兩個(gè)基本電路：低通濾波器和高通濾波器，它們與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。
簡(jiǎn)介
在正弦狀態(tài)下的線性網(wǎng)絡(luò)中，使用符號(hào)法具有無(wú)可爭(zhēng)議的優(yōu)勢(shì)，即可以繞過(guò)對(duì)微分方程進(jìn)行積分的棘手問(wèn)題，這些微分方程涉及電容器和電感器等無(wú)源元件引起的電流強(qiáng)度和電壓降等量。然而，隨著所謂的C.A.S. (計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的縮寫(xiě)，如Mathematica、Maple、Maxima等)的廣泛傳播，這種方法已經(jīng)過(guò)時(shí)，因?yàn)檫@種方法只能用于正弦狀態(tài)，并且忽略了不可避免的初始瞬態(tài)。
有一本很棒的書(shū)介紹了Mathematica的Nodal包，不過(guò)這個(gè)包使用的是符號(hào)法，因此無(wú)法充分利用Mathematica軟件的強(qiáng)大功能和靈活性。我們的想法是使用一種面向微分方程的方法，而Mathematica可以通過(guò)DSolve和NDSolve指令可以很好地處理微分方程：前者以封閉形式返回解，而后者則執(zhí)行數(shù)值積分，在這種情況下不可能找到可以用解析方式表達(dá)的解，即便是通過(guò)數(shù)學(xué)物理的特殊函數(shù)也不行。
線性網(wǎng)絡(luò)的基本組成部分
線性網(wǎng)絡(luò)的基本元件是電感器和電容器，當(dāng)然，電阻器也起著關(guān)鍵作用，但它們不會(huì)通過(guò)從電流到外加電壓的轉(zhuǎn)換來(lái)改變波形(記住歐姆定律)。對(duì)于電容為C的電容器，施加到極板上的電壓v(t)決定了電荷q(t)=Cv(t)，因此電流強(qiáng)度為：
電壓v隨時(shí)間變化越快，電流強(qiáng)度就越大。在正弦狀態(tài)下(或在任何可展開(kāi)為串聯(lián)/傅立葉積分的情況下)，隨時(shí)間變化的速率越快，頻率就越高，換句話說(shuō)，電容器只“讓”最高頻率的電流通過(guò)(在電氣工程手冊(cè)中，這種通過(guò)的行為，用電容器在高頻下是短路來(lái)表達(dá))。從數(shù)學(xué)上講，電容器由導(dǎo)數(shù)算子表示。
電感具有雙重特性。自感系數(shù)為L(zhǎng)的電感兩端的電壓降為：
從數(shù)學(xué)上講，電感用積分算子表示，而我們知道積分算子是導(dǎo)數(shù)算子的逆。從電路上看 ，電感在低頻下表現(xiàn)得像短路。通過(guò)組裝無(wú)源元件R、L和C，我們可以得到一個(gè)線性網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)在數(shù)學(xué)上用微分或積分微分方程表示。圖1所示的輸入/輸出系統(tǒng)就是一般線性網(wǎng)絡(luò)的示意圖。
圖1：線性網(wǎng)絡(luò)。輸入信號(hào)vin唯一對(duì)應(yīng)于輸出信號(hào)vout
但即使從單個(gè)L或C元件開(kāi)始，也有可能仿真出有趣的行為，如圖2所示。
圖2：在電容為C的電容器上施加“三角波”類型的信號(hào)。其余圖形分別表示電流強(qiáng)度和瞬時(shí)功率
在圖3中，我們看到一個(gè)受白噪聲影響的正弦信號(hào)，該信號(hào)應(yīng)用于RC系列的輸入。
圖3：白噪聲中的正弦信號(hào)
高通濾波器(CR系列)
CR系列(圖4)是高通濾波器，因?yàn)樵诟哳l下電容器是短路的。對(duì)于以串聯(lián)方式產(chǎn)生的任何輸入(如果是周期性的)或傅里葉積分，CR系列僅讓高頻電流通過(guò)。為了確定濾波器響應(yīng)與頻率的函數(shù)關(guān)系，可進(jìn)行正弦測(cè)試輸入vin(t)=VMsin(2πft)。更準(zhǔn)確地說(shuō)，通過(guò)使用Mathematica的DSolve指令求解相應(yīng)的方程，我們得到輸出信號(hào)vout(t)。
圖4：CR系列
我們注意到，雖然符號(hào)法允許我們繪制相對(duì)振幅模塊(out vs in)，表明CR系列是高通濾波器，但在我們的解決方案中，由于輸入和輸出之間的相位差由電容決定，因此無(wú)法實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。但是，我們可以繪制頻率f變化時(shí)的兩個(gè)信號(hào)，如圖5所示，其中我們使用了一個(gè)電阻器R=1kΩ和一個(gè)電容C=1μF的電容器。
圖5：不同頻率下輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的比較。藍(lán)色正弦波是輸入信號(hào)，紅色正弦波是輸出信號(hào)。不僅要注意低頻的衰減，還要注意兩個(gè)信號(hào)之間的相位差
低通濾波器(RC系列)
對(duì)于RC系列(圖6)，微分方程的解仍然是Mathematica在高通濾波器中找到的解，因?yàn)槲覀兯龅闹皇墙粨Q了元件。由于vout=vC，所以輸出信號(hào)發(fā)生了變化，因此：
圖6：RC系列
重復(fù)高通濾波器情況下的操作步驟，我們得到圖7所示的圖，其中R和C的值保持不變。
圖7：不同頻率下輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的比較。藍(lán)色正弦波是輸入信號(hào)，紅色正弦波是輸出信號(hào)。請(qǐng)注意高頻下的衰減
具有非正弦輸入的高通濾波器
最后，我們用一個(gè)高通濾波器結(jié)束本文，該濾波器的輸入信號(hào)是高斯調(diào)制的正弦振蕩。在這種情況下，Mathematica無(wú)法解析積分微分方程，因此我們使用NDSolve指令，假設(shè)振蕩頻率f為自由參數(shù)，觀察信號(hào)是否具有周期性。圖8顯示了R=1kΩ和C=1μF時(shí)的結(jié)果。
圖8：不同頻率f下幅度調(diào)制正弦振蕩的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的比較。藍(lán)色圖為輸入信號(hào)，紅色圖為輸出信號(hào)。注意低頻處的衰減
