1DOE的設計思想
衍射光學元件(DiffractiveOptical Elements，簡稱DOE)的設計理論通常分為兩類：標量衍射理論和矢量衍射理論。當衍射光學元件的橫向特征尺寸大于入射光波長時，用標量衍射理論設計衍射光學元件具有極大的優勢。
標量衍射模型認為DOE是無限薄的曲面，是一種純相位調制元件。純相位型調制元件的優勢在于不會引起光能被吸收而損失掉，因此，理論上用純相位型調制元件可以獲得更高的衍射效率。
相位衍射元件的透過率函數可以表式為：
式中
為DOE的位相分布函數。設入射到DOE的光場復振幅分布為
，則從DOE出射的光場復振幅分布為
，根據標量衍射公式，即可求出DOE后任一點的光場。
根據標量衍射理論，傍軸條件下，衍射光學系統可看成是一種從輸入波前到輸出波前的變換問題。無論DOE實現何種特殊的功能(光束整形、分束、合束等)，無論是在菲涅爾衍射還是在夫瑯禾費衍射區，衍射光學系統均可認為是一種空間線性變換系統。入射場
與輸出場(接收場)
之間有如下關系：
對于不同的功能和光學系統，G代表不同的變換。
因此，DOE的設計思想可表述為，利用具有位相分布
的DOE調制入射場
，使其經變換G后得到所需要的輸出場分布
。
多數情況下，上述問題無法進行解析求解，需將其轉化為數值優化問題，利用優化算法尋求在某種范數下的最優解。
因此，DOE求解問題的實質歸結為：求DOE上的相位分布
，使得最
小。
為某種范數下實際值與理想值間的差異。
標量衍射理論起步早，發展成熟，目前已級產生了GS算法及其改進算法、楊顧(YG)算法及其改進算法、模擬退火算法(SA)、遺傳算法(GA)等優化算法及各種混合算法，各種優化算法之間的關系如圖1所示。
GS算法是1971年由R.W.Gerchberg和W.O.Saxton提出的一種具有實際意義振幅位相恢復算法。利用輸入光場與輸出光場間的正逆傅里葉變換以及輸入輸出面上的光場限制條件，通過反復迭代，直到滿足設計要求。 GS算法的具體內容詳見第3.3節。為提高GS算法的收斂速度，并克服GS算法易于陷于局部極值點的缺陷，獲得更理想的光斑輸出，又陸續發展了多種GS算法的改進算法，如位相混合算法、輸入-輸出算法等，均為調整輸入面的限制條件或焦平面的限制條件，來改善位相分布或設計性能，但本質都是一樣的。
更普遍的迭代算法是YG算法(楊-顧算法)，該算法是中科院物理所的楊國楨和顧本源于20世紀80年代初基于應用光學一般變換理論提出的幺正變換系統中振幅-位相恢復問題的一般描述。在嚴格數學推導的基礎上，建立一組確定振幅-位相分布的聯立方程組，并將其推廣到非幺正變換系統中。YG算法原則上可解決任意線性變換系統中的振幅-相位恢復問題，而GS算法是YG算法的一個特例。利用YG算法進行二元光學器件的位相設計也有很多成功的案例。
GS、YG算法均是一種局部優化算法，而模擬退火(SA:Stimulated Annealing)算法借鑒不可逆動力學思想，是一種基于蒙特卡洛迭代求解的啟發式隨機優化算法，理論上是一種全局優化算法，它不同于局部優化算法之處在于：以一定概率選擇鄰域中評價函數值大的狀態。SA算法的基本思想是：將優化變量的可能取值Si看成某一物質體系的微觀狀態，而將評價函數C(Si)看成該物質體系在對應狀態下的內能，并用控制參量T類比溫度。在某一溫度下，經不斷降溫，在全局解空間中隨機搜索最優解，同時具有概率突跳特點，即在局部極小以一定概率跳出并最終趨于全局最優。
遺傳算法(GA：GeneticAlgorithm)借鑒生物進化論的思想，是一種啟發式群體概率性迭代優化方法。GA將問題的求解表示成“染色體”的適者生存過程，其中包括選擇、交叉和變異操作，通過“染色體”群的一代代不斷進化，最終收斂到“最適應環境”的個體，從而求得問題的最優解。GA算法具有并行搜索能力，同時不依賴問題的特殊信息，但存在進化緩慢和“早熟”現象。
共軛梯度算法是目前解決非線性無約束最優化問題的常用方法之一。把輸出平面上的相位分布視為自由變量，引入一個誤差函數E來評價所設計的衍射相位元件的性能，從而把衍射相位元件的設計問題歸結為去尋求一組相位分布使誤差函數E達到極小值的問題。由于該方法不涉及二階偏微分矩陣，故計算所用的計算內存較小。
混合優化算法是一種能將全局優化算法與局部優化算法有機結合起來的算法，既有一定的全局搜索能力，又具有較高的優化效率，才可保證在較短時間內獲得優良性能的位相分布，是目前DOE設計中使用較多的算法。例如，GLUSA聯合運用了遺傳、模擬退炎有爬山法各自的優點，依次經過參量初始化、基因交換、全局搜索及調整參量并不斷重復等過程，最終達到獲得最優解的目的。全局算法、局部算法和混合算法的優缺點具體見表1。
圖2是衍射系統的光路簡圖，系統的光軸與所選坐標系的z軸一致，DOE(輸入面)和接收屏(輸出面)分別放在P1和P2位置，間距為L。
設輸入光波場的振幅為
，DOE的相位分布為
，輸出面上預期的光場振幅為
，輸入光場由DOE調制后經傅里葉變換在輸出面上的實際光場振幅分布為
，相位為
。
根據標量衍射理論，在遠場條件下(距離L增大到一定條件)，利用夫瑯禾費衍射積分公式有：
實際設計DOE的過程中，對上式的求解也是非常重要的。
圖3.2是GS算法設計思想的流程，具體實現步驟可做如下描述：
(1)取任意
作為入射面的初始相位分布，與入射光振幅
相結合，得到入射光射面的復振幅
，此時
。
(2)從輸入面到輸出面做傅里葉變換得到復振幅
，FFT表示傅里葉變換。
(3)取
的相位函數
與衍射面預期得到的目標振幅函數
相結合，得到新的光的光場分布函數
，此時
。
(4)對
作逆傅里葉變換，得到
，iFFT表示逆傅里葉變換。
(5)將上一步獲得的
返回到步驟1，替換后繼續進行迭代，重復上述步驟。
當均方誤差SSE小于預先設定值
或迭代次數達到規定的最大迭代次數M時，得法停止。
輸入光波為高斯光束，其表達式為
式中為高斯光束的束腰半徑，取
。
其它設計參數：
入射波長：523nm；
輸入面與輸出面間距：10mm；
DOE的大小：2*2mm2；
利用GS算法，通過合理設計，實現了從高斯光束到平頂光束的變化，MATLAB模擬的結果如圖4-圖7所示。
