時域的數學采樣
然而，大多數信號都不是單頻正弦信號。例如，受調制的射頻信號具有與載波和基帶波形相關的頻率，并且表示人類語音的音頻信號將覆蓋一定范圍的頻率。
我們使用傅立葉變換對信號頻率進行可視化處理。在單頻信號的情況下，時域圖是一種表達“采樣率不足的影響”的好方法，但對于其他類型的信號，我寧愿使用頻域。
采樣的頻域效應
假設我們要對一個音頻信號進行數字化處理，這個音頻信號包含了一定范圍內的多種不同頻率的混合信號。該范圍的高端被定義為fMAX，我們假設范圍延伸到了DC，即使我們聽不到那么低的頻率。這樣一個信號的傅立葉變換，可能看起來是這樣的：
時域的數學采樣
在數學領域，理想的采樣相當于原始時域波形乘以一系列增量函數，這些函數之間的間隔等于1/f樣本，我們稱之為T樣本。（在本文的其余部分，我們將使用fS表示f樣本、使用TS表示T樣本。）這種乘法使得采樣信號在增量函數之間為零，并在與增量函數重合的每個時間點上保留原始信號的值。
（數學上實現的時域采樣：我們將模擬信號乘以一系列在采樣頻率處出現的增量函數）
頻域的數學采樣
這種時域采樣過程是如何影響信號頻域表示的？下面，讓我們一起來看看。
首先要記住的是，時域信號相乘相當于頻域卷積。因此，我們可以通過將原始信號的傅立葉變換與增量函數的傅立葉變換進行卷積，從而得到采樣信號的傅立葉變換。
事實證明，增量函數的傅立葉變換是一個增量函數序列。而不同之處則在于，增量函數是被與采樣頻率相對應的水平距離分隔的，而不是采樣周期。
（由采樣周期分隔的增量函數序列的頻譜，是由采樣頻率分隔的一系列增量函數）
當我們將增量函數的頻譜與原始信號的頻譜進行卷積時，我們就得到了原始頻譜的副本，這些副本會按照增量函數的位置進行移位。因此，采樣信號的頻譜是由多個以±fS、±2fS、±3fS等為中心的相同的“子頻譜”組成的。
（適當的采樣頻率會導致子頻譜發生移位，以保持完全分離）
現在，我們有了通過頻域分析來證明奈奎斯特-香農定理所需的信息了。這個定理，正如我在上一篇文章中所表述的：
如果一個系統以超過信號最高頻率至少兩倍的速率對模擬信號進行均勻采樣，那么原始模擬信號就能從采樣產生的離散值中完全恢復。
由于傅立葉變換的負頻率部分，原始信號的全部數學帶寬為2fMAX。因此，為了確保子頻譜不重疊，我們必須將其移位至少2fMAX。換句話說，采樣頻率必須比信號的最大頻率高出至少兩倍。
如果滿足這個條件，那么原始信號就能實現完美重構。但你知道這是為什么嗎？因為原始頻譜沒有改變，所以我們可以通過低通濾波來消除其他子頻譜。（下一篇文章將會詳細地探討這個話題。）如果不滿足這個條件，那么子頻譜就會重疊，原始頻譜就會改變，即使再強的低通濾波也不能恢復原始信號。
混 疊
子頻譜重疊是當我們使用低于奈奎斯特速率的采樣頻率時，信息被破壞而造成的。子頻譜的重疊部分通過加法合并起來；如果我們試圖使用低通濾波器分離出原始頻譜，那么重疊波段的頻率含量就會不同，因此相應的時域信號也會不同。
這種現象就稱之為混疊。
（三角形棕色陰影部分表示引起頻譜變化的混疊）
名詞“別名”的釋義之一是“虛假或者假定的身份”，我們之所以使用“混疊”一詞，是因為這種采樣現象會導致一個頻率分量移到頻譜中的一個新位置，從而將自己“偽裝”成一個不同的頻率。
我們在上一篇文章中看到了這一點，1.1f信號下采樣所產生的離散時間波形，其頻率似乎遠低于原始模擬波形的頻率。
結 語
至此，我們已經討論了采樣定理的基礎層面。在下一篇文章中，我們將在理論和實踐之間展開一些聯系。
最后，需要說明一下，由于個人能力有限，有些詞句可能翻譯得比較生硬，建議有英文閱讀能力的小伙伴兒一定要去閱讀原文。另外，文中翻譯如有不當之處，還請批評指正。
作者：Robert Keim
編譯：蔡璐
來源：ALL ABOUT CIRCUITS
【2】編程語言那么多，為什么偏偏是C語言成了大學的必修課？
【3】終于整理齊了，電子工程師“設計錦囊”，你值得擁有！
【4】半導體行業的人都在關注這幾個公眾號
