在帶有無源和電抗元件的電子電路中，即使信號瞬時變化(例如方波)，電荷也會繼續保持連續，我們將用一個“積分電路”來演示這一論斷。
簡介
我們正在處理一個復雜的問題，假設電荷q(t)是時間t的連續函數，這對于含有有源半導體元件的電子電路，尤其是基于碳化硅(SiC)和氮化鎵(GaN)的器件來說，可能并不成立。事實上，在半導體中，由生成/復合過程引起的電荷瞬時變化是無法排除的，因為相應的特征時間在時間尺度上可能是瞬時的，而這個時間尺度通常由宏觀量(歐姆電阻、電感、電容)確定的時間常數決定。
通常，人們傾向于將生成/復合過程的貢獻與電荷密度分開，從而引入“生成/復合率”。但我們認為，這種表述是一種有用的數學技巧，沒有先驗的理由排除半導體電荷q(t)可能存在的有限不連續性，我們將在后續文章中探討這個問題。
Wolfram語言和Wolfram機
在之前的文章中，我們研究了一個簡單的RC串聯電路，在任何輸入的情況下都會返回一個輸出(在電容器兩端)，該輸出通過“求積”進行數學計算，也就是通過積分計算。因此，在模擬電子時代，這類電路被稱為(輸入的)積分器，或者更準確地說，是半積分器，因為被積函數等于輸入乘以一個指數，該指數代表電路的時間常數。
對于正弦曲線等非常規則的輸入，通過求積計算過程沒有問題，在Wolfram語言中，它允許您根據以下定義實現所謂的Wolfram機：
定義1：我們將Wolfram語言中的所有符號計算過程稱為Wolfram機。
因此，Wolfram機(WM)是一種程序，與傳統編程語言(Fortran、C++等)的程序不同，它允許將自由參數作為自變量處理。例如，在RC系列的情況下，自由參數是電阻R和電容C的值，也可以是輸入信號的任何參數(例如，如果信號是周期性的，則為頻率)以及其他物理量。
在Mathematica的前端，用戶可以定義一個函數，該函數以上述參數作為參數，并用下劃線標記(以實現模式)。該函數將調用DSolve指令，該指令本身也是一個函數，其參數是待求解的微分方程和初始條件(注意，在Mathematica中，每條指令都是一個函數)。
用戶自定義函數的作用體現在它能夠根據用戶指定的參數值(例如電容器的電容值)確定輸出。
方波
回到正題，讓我們來考慮一個積分電路，其輸入信號會發生瞬時變化。最簡單的情況就是周期為T的方波：
該輸入觸發了與表示基爾霍夫第二定律的微分方程有關的相應初值問題的“嵌套”結構：
這就需要把周期區間[0,T]分解為兩個不相交的子區間：
排除T/2中的不連續性，方波的情況可以很容易地用紙筆求解，然后用Mathematica繪制，找到電荷q(t)和電流強度i(t)的變化趨勢(對于V0=1V，T=1s，R=1kΩ，C=10-4F)，如圖1所示。
圖1：方波的電荷趨勢和一階導數(電流)。注意q(t)圖中有一個角點，它對應于電流i(t)的有限不連續性。
然而，我們感興趣的是輸出，即電容器兩端的電位差vout=q/C，因此其趨勢與電荷相同。圖2中顯示了R=1kΩ、C=10-4F時的輸出趨勢。通過增加電容器的電容(C=5×10-4F)，我們獲得了圖3所示的趨勢。
圖2：輸出信號趨勢
圖3：增加電容器電容后輸出信號的變化趨勢
函數q(t)的連續性簡單地表示了“電荷”這個物理量不允許不連續的情況。q(t)的導數，即電流強度i(t)，可以具有有限的不連續性，因為電荷載流子的運動可以瞬間反轉(隨著電勢差的反轉)。
鋸齒波
另一個例子是周期輸入信號T=1s，它仍然可以用紙筆求解，但比較繁瑣：
假設峰值為1V(圖4)。這種類型的信號被稱為鋸齒波。在Mathematica中，周期區間[0,1]的分解由Piecewise指令完成。
圖4：鋸齒波
重新組合用于方波的WM，我們獲得了圖5和圖6中所示的電荷和電流強度趨勢。
圖5：鋸齒波輸入的電荷行為
圖6：鋸齒波輸入的電流強度趨勢
然后，計算輸出電壓，我們就得到圖7中的圖表：R=1kΩ，C=1.5×10-5F。增加電容器的電容(C=1.5×10-4F)，我們得到圖8所示的圖表。
圖7：輸出電壓與輸入電壓的比較。電容的低值再現了輸入信號
圖8：輸出電壓與輸入電壓的比較，與上圖中的值相比，電容器的電容有所增加
練習
以下是一些建議的練習，我們將在下一期文章中給出答案。
練習1：RC積分電路的輸入是：
其中，A=10V，τ0=1s是特征時間(不要與時間常數τ=RC混淆)，T=8s是周期。信號行為如圖9所示。
對WM進行編程，使其能夠針對R和C的值重建輸出信號。
圖9：信號趨勢(公式(5))
練習2：1)解釋為什么方波信號(1)的基爾霍夫微分方程無法積分。2)將方波(1)的傅里葉級數截斷為給定階數n后，確定輸出信號，其中輸入信號是傅里葉級數的n階部分和。將電容接地是否可以減弱吉布斯現象的振蕩？(請盡量定性回答)。
責編：Ricardo
