利用Wolfram語言(Mathematica)的靈活性，您可以在軟件中重建線性網絡的行為。在本文中，我們將研究電子學中的兩個基本電路：低通濾波器和高通濾波器，它們與輸入信號無關。
簡介
在正弦狀態下的線性網絡中，使用符號法具有無可爭議的優勢，即可以繞過對微分方程進行積分的棘手問題，這些微分方程涉及電容器和電感器等無源元件引起的電流強度和電壓降等量。然而，隨著所謂的C.A.S. (計算機代數系統的縮寫，如Mathematica、Maple、Maxima等)的廣泛傳播，這種方法已經過時，因為這種方法只能用于正弦狀態，并且忽略了不可避免的初始瞬態。
有一本很棒的書介紹了Mathematica的Nodal包，不過這個包使用的是符號法，因此無法充分利用Mathematica軟件的強大功能和靈活性。我們的想法是使用一種面向微分方程的方法，而Mathematica可以通過DSolve和NDSolve指令可以很好地處理微分方程：前者以封閉形式返回解，而后者則執行數值積分，在這種情況下不可能找到可以用解析方式表達的解，即便是通過數學物理的特殊函數也不行。
線性網絡的基本組成部分
線性網絡的基本元件是電感器和電容器，當然，電阻器也起著關鍵作用，但它們不會通過從電流到外加電壓的轉換來改變波形(記住歐姆定律)。對于電容為C的電容器，施加到極板上的電壓v(t)決定了電荷q(t)=Cv(t)，因此電流強度為：
電壓v隨時間變化越快，電流強度就越大。在正弦狀態下(或在任何可展開為串聯/傅立葉積分的情況下)，隨時間變化的速率越快，頻率就越高，換句話說，電容器只“讓”最高頻率的電流通過(在電氣工程手冊中，這種通過的行為，用電容器在高頻下是短路來表達)。從數學上講，電容器由導數算子表示。
電感具有雙重特性。自感系數為L的電感兩端的電壓降為：
從數學上講，電感用積分算子表示，而我們知道積分算子是導數算子的逆。從電路上看 ，電感在低頻下表現得像短路。通過組裝無源元件R、L和C，我們可以得到一個線性網絡，該網絡在數學上用微分或積分微分方程表示。圖1所示的輸入/輸出系統就是一般線性網絡的示意圖。
圖1：線性網絡。輸入信號vin唯一對應于輸出信號vout
但即使從單個L或C元件開始，也有可能仿真出有趣的行為，如圖2所示。
圖2：在電容為C的電容器上施加“三角波”類型的信號。其余圖形分別表示電流強度和瞬時功率
在圖3中，我們看到一個受白噪聲影響的正弦信號，該信號應用于RC系列的輸入。
圖3：白噪聲中的正弦信號
高通濾波器(CR系列)
CR系列(圖4)是高通濾波器，因為在高頻下電容器是短路的。對于以串聯方式產生的任何輸入(如果是周期性的)或傅里葉積分，CR系列僅讓高頻電流通過。為了確定濾波器響應與頻率的函數關系，可進行正弦測試輸入vin(t)=VMsin(2πft)。更準確地說，通過使用Mathematica的DSolve指令求解相應的方程，我們得到輸出信號vout(t)。
圖4：CR系列
我們注意到，雖然符號法允許我們繪制相對振幅模塊(out vs in)，表明CR系列是高通濾波器，但在我們的解決方案中，由于輸入和輸出之間的相位差由電容決定，因此無法實現這一點。但是，我們可以繪制頻率f變化時的兩個信號，如圖5所示，其中我們使用了一個電阻器R=1kΩ和一個電容C=1μF的電容器。
圖5：不同頻率下輸出信號與輸入信號的比較。藍色正弦波是輸入信號，紅色正弦波是輸出信號。不僅要注意低頻的衰減，還要注意兩個信號之間的相位差
低通濾波器(RC系列)
對于RC系列(圖6)，微分方程的解仍然是Mathematica在高通濾波器中找到的解，因為我們所做的只是交換了元件。由于vout=vC，所以輸出信號發生了變化，因此：
圖6：RC系列
重復高通濾波器情況下的操作步驟，我們得到圖7所示的圖，其中R和C的值保持不變。
圖7：不同頻率下輸出信號與輸入信號的比較。藍色正弦波是輸入信號，紅色正弦波是輸出信號。請注意高頻下的衰減
具有非正弦輸入的高通濾波器
最后，我們用一個高通濾波器結束本文，該濾波器的輸入信號是高斯調制的正弦振蕩。在這種情況下，Mathematica無法解析積分微分方程，因此我們使用NDSolve指令，假設振蕩頻率f為自由參數，觀察信號是否具有周期性。圖8顯示了R=1kΩ和C=1μF時的結果。
圖8：不同頻率f下幅度調制正弦振蕩的輸出信號與輸入信號的比較。藍色圖為輸入信號，紅色圖為輸出信號。注意低頻處的衰減
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