上一篇-前菜篇,我們對PDM進行了一些頭腦風暴，思考實驗，并沒有涉及具體的理論。但是我們發明了自己的PDM，核心思想是,進行抽象，用10數字流代表PDM，用窗口滑動平均，窗口內平均的1的密度來反映電壓的高低。也留下了問題就是如何來編碼滿足我們這種需求？上一篇實際也大致介紹了思想，即差分思想，實際上我們現在應該能大概設計出這種算法了。
人總是習慣于直接的思維，就是直接給出需要的東西，但是對于計算機等其實這不一定是最好的方式。
我們先舉個簡單的例子來引出，類似我們前面進行的抽象，同樣假設要告訴別人電壓是多少，實際就是要告訴別人數字。
比如我手里有一串數字比如是5和10，要告訴別人，我們有不同的方式，首先是絕對值的方式，只要以下步驟
1.我手里有個5
2.我手里有個10
我們也可以是差分的方式，
假設開始以0為初始狀態。
1.我手里有個比上一個數大5的數，即5。
2.我手里有個比上一個數大5的數，即10。
還不夠，上述每次差分都是變化的，即每次都直接告訴對方差值，其實也可以固定一個幅度的差值。但是方向可以變，比如固定幅值為5，可以正和負，每次都只能告訴對方是+5還是-5，即只能告訴別人大了還是小了，大了就減小，小了就增大.
假設要告訴別人我手里有的值是0.
假設開始以0為初始狀態。
1.手里的值是0，大于等于初始狀態0, 告訴對方要+5. ?這次行為記錄為1.
2.此時雙方記錄的偏差的累積值是5(積分器累計偏差)，這時我意識到往上偏了，我實際手里是0，而告訴別人是5，多告訴了，所以現在告訴別人要-5. ??這次行為記錄為0.
以上記錄偏差需要積分器，知道多了還是少了要比較器，+5還是-5是反饋器。
3.此時值變為了5-5=0. 然后繼續前面的過程。
所以記錄的行為是告訴別人1010101010，即+5，-5的來回調整，最終平均下來就是+5和-5的次數一樣，也就是平均值0.
實際上面我們就已經設計出來了，現在來畫出其框圖，很簡單，無需再解釋了。
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可以使用matlab的工具箱Delta sigma toolbox進行仿真。
ADI有一個在線網頁可以形象的仿真每一步。可以對照上面的描述一步步去理解。
https://www.analog.com/en/design-center/interactive-design-tools/sigma-delta-adc-tutorial.html
設置輸入電壓比如0V, 1bit D/A電壓幅度1V。點擊start over回到初始狀態
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點擊Next Step進入下一步，先計算偏差，輸入為0，默認DA輸出0，如下紅色的偏差0，
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點擊Next Step偏差積分為0
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點擊Next Step，比較器輸出為1
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點擊Next Step，比較器輸出1，控制DA輸出REF+即+1V
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點擊Next Step，計算新的偏差為-1
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點擊Next Step，對偏差積分0+-1=-1
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后面就是重復前面的步驟，
可以看到最后輸出10101010的序列，計算20步之后是
10101010101010101010，即PDM編碼，對應的就是1的密度為50%，即峰峰值的一半，即0V。
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如果輸入0.5，20步之后，1的個數為15/20即3/4， 即峰峰值的3/4, 即-1往上偏移2*3/4=-1+1.5=0.5.
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我們再來看上面的框圖，可以看到對偏差進行積分，然后通過負反饋反向調整。這不就是理想運放的模型嗎。
理想運放放大倍數無限大，所以只要有一丁點偏差就會觸發后面比較器向偏差相反方向調整，通過DA要不就往+REF要不就往-REF調整。最終收斂可以偏差很小，也就是輸出和輸入的偏差很小，作為ADC采樣就是采集的很準，這也就是sigma-delta可以做到24位甚至32位高精度的原因，但是他是用長時間的比較收斂來獲得的，也就是長時間的平均來表示其值，所以采樣率就低了，不適合采樣高速信號，這就是這個世界總是充滿矛盾的，沒有這么完美。
一句話總結，哦豁，原來我們設計的PDM編碼就是一個理想運放模型。
再來一句話總結， 哦豁，差分-反饋，大了就減小，小了就增大，三歲小孩都知道的道理，就這么簡單。但是要保證偏差小精度大，就要很靈敏，即很小的偏差就要能檢測到以決定如何調整，即放大倍數要大。
你看高深的技術，原來總是這么樸實無華，我們能發明PDM也就沒什么奇怪的了。
但是，道理很簡單，應用還是需要深入研究其原理的，我們從感性的認識到抽象的模型再到原理的分析，這樣的步驟去理解會更透徹，而不是一上來就陷入莫名其妙的模型，算法，公式當中完全不知所云。后面我們會再從不同角度:時域，頻域等角度去分析其特性，最終應用到實處，比如PDM播放音頻的實踐。
