奈奎斯特采樣定理到底是大于什么？

奈奎斯特采樣定理到底是大于什么？很多人都聽過奈奎斯特采樣定理，但一個關(guān)鍵問題常被誤解：          
采樣率到底是 ≥2×帶寬，還是 ≥2×最高頻率？為什么會出現(xiàn)兩種不同的說法？

主要原因是信號類型不同。

奈奎斯特采樣定理本質(zhì)要求采樣率 fs ≥ 2×最高頻率 fmax，而不是簡單的 2×帶寬；只有在低通信號（帶寬等于最高頻率）或特定帶通采樣條件下，fs ≥ 2B 才成立。

本文從頻譜搬移與混疊（Aliasing）機(jī)制出發(fā)，詳細(xì)解析采樣與頻譜重疊原理。

在產(chǎn)品測試時，您是否知道信號中出現(xiàn)了一些毛刺而您對此毫無覺察？導(dǎo)致這種情況的罪魁禍?zhǔn)资?/span>采樣率。采樣率太低的話，很可能讓您錯過重要事件。采樣率是示波器的關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)之一。

采樣率過低不僅會導(dǎo)致失真，還會使您錯過沒有采樣到的關(guān)鍵信號細(xì)節(jié)，如毛刺和誤差。在下圖中，我們可以看到采樣率過低（或“欠采樣”）錯過了多少信號細(xì)節(jié)。

圖 因欠采樣而錯過的毛刺

相反，下圖則顯示了高采樣率如何使您捕獲到這些毛刺。如果您沒有在測試中發(fā)現(xiàn)這些誤差，那么客戶在使用您的器件時有可能會發(fā)生故障。

圖 在適當(dāng)?shù)母卟蓸勇氏聹?zhǔn)確捕獲毛刺的結(jié)果

奈奎斯特采樣定理本質(zhì)上就是在說明：采樣率必須與信號的最高頻率之間滿足什么關(guān)系，才能不失真重建信號。在了解奈奎斯特采樣定理前，我們有必要了解幾個基本概念：什么是采樣？什么是頻譜混疊？等。

采樣 vs 量化 vs編碼

芯片只能處理數(shù)字信號，而現(xiàn)實(shí)生活中的很多信號是模擬信號，因此需要將模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號。在模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號過程中需要三個步驟：采樣、量化、編碼。

什么是采樣？

采樣又稱為抽樣或取樣，把時間連續(xù)的信號轉(zhuǎn)換為時間不連續(xù)的脈沖。該脈沖信號稱為采樣信號，采樣信號在時間軸上是離散的，但在幅度（y軸）上仍是連續(xù)的。把采樣信號變?yōu)樵跁r間上離散，在幅度上也離散的過程叫作量化。

采樣原理

采樣率是被測信號帶寬2倍以上，才能完全重建和恢復(fù)波形。

離散系統(tǒng)的奈奎斯特頻率高于被采樣信號的最高頻率或帶寬，就可以避免混疊現(xiàn)象

下圖分別顯示了分別以高采樣率和低采樣率測量相同外觀信號得到的結(jié)果。 

圖 高采樣率 - 以 20 GSa/s 捕獲的射頻猝發(fā)脈沖

圖 低采樣率 - 以 40 MSa/s 捕獲的同一射頻猝發(fā)脈沖

采樣率是什么意思?

以將模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號的模數(shù)轉(zhuǎn)換器（ADC）為例，它會收集模擬信號的“樣本”或數(shù)據(jù)點(diǎn)。模數(shù)轉(zhuǎn)換器ADC使用這些樣本以數(shù)字方式在示波器屏幕上重建信號。收集這些樣本的速率就稱為采樣率，單位為樣本數(shù)/秒（Sa/s）。在精心設(shè)計的示波器中，會按照均勻的時間間隔收集這些樣本。

當(dāng)您在屏幕上看到得到的信號時，您不會看到這些樣本點(diǎn)，而是看到一個平滑的波形。示波器在每個采集的樣本之間插入跡線。但是，如果采集的樣本不夠，那么插值不能很好地表現(xiàn)信號，導(dǎo)致測量結(jié)果不正確。

但是，如果采集的樣本不夠，那么插值不能很好地表現(xiàn)信號，導(dǎo)致測量結(jié)果不正確。

數(shù)字示波器的工作原理

采樣，采樣率和采樣技術(shù)的區(qū)別是什么？

采樣指輸入模擬信號被ADC轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)，可處理的數(shù)字信號的過程。          
采樣率是ADC進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換的頻率。           
采樣技術(shù)是實(shí)時采樣、等效時間采樣和順序采樣。

量化是一個數(shù)值分層過程，即四舍五入過程。

編碼是將量化后的數(shù)字信號的幅值，變換成一組組對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)組。

第一步的采樣最為關(guān)鍵，關(guān)系到模數(shù)轉(zhuǎn)換，再到數(shù)模轉(zhuǎn)換。經(jīng)過幾次變換，傳輸?shù)男盘栠€要保持不變，這樣的通信才算完整可靠。

采樣定理說明采樣頻率與信號頻譜之間的關(guān)系，是連續(xù)信號離散化的基本依據(jù)。其采樣頻率能捕獲連續(xù)時間信號的所有信息。

什么是混疊（Aliasing）？

什么是混疊（Aliasing）？為什么采樣率不夠會讓高頻變低頻（奈奎斯特詳解）？

從本質(zhì)講：采樣到底在做什么呢？對一個連續(xù)時域信號，采樣后變?yōu)闀r域離散但幅值連續(xù)的采樣信號。根據(jù)傅里葉理論，連續(xù)非周期信號對應(yīng)的頻域曲線是非周期連續(xù)的波形，而離散非周期信號對應(yīng)的頻域曲線是周期連續(xù)的波形。

所以采樣本質(zhì)就是對原信號進(jìn)行周期性的頻譜搬移。故采樣頻率沒選好，就會使周期性頻譜搬移過程中造成頻譜混疊，既然頻譜和原信號的頻譜對不上了，故就無法無失真恢復(fù)原信號了，總之，頻域波形不出現(xiàn)重疊是無失真?zhèn)鬏數(shù)闹匾Ｕ稀?/span>

(c) 低抽樣率時的抽樣信號及頻譜（混疊）

設(shè)采樣角頻率是 ω?，原信號的最高上限角頻率是 ω?。

由上圖可見采樣就是以周期 T? 進(jìn)行頻譜搬移，顯然，ω?≥ 2ω?，就不會造成頻率混疊，這就是奈奎斯特采樣。物理上解釋，一個頻帶受限信號的波形不可能短時間產(chǎn)生獨(dú)立的、實(shí)質(zhì)的變化，最高變化速度受最高頻率分量的限制，因而為了保留這一頻率分量的信息，故一周期內(nèi)至少采樣兩次。

混疊是如何產(chǎn)生的？為什么會“高頻變低頻”？

當(dāng)采樣頻率設(shè)置不合理時，即采樣頻率低于2倍的信號頻率時，會導(dǎo)致原本的高頻信號被采樣成低頻信號。

來看一個典型場景：如下圖所示，紅色信號是原始的高頻信號，但是由于采樣頻率不滿足采樣定理的要求，導(dǎo)致實(shí)際采樣點(diǎn)如圖中藍(lán)色實(shí)心點(diǎn)所示，將這些藍(lán)色實(shí)際采樣點(diǎn)連成曲線，可以明顯地看出這是一個低頻信號。在圖示的時間長度內(nèi)，原始紅色信號有18個周期，但采樣后的藍(lán)色信號只有2個周期。也就是采樣后的信號頻率成分為原始信號頻率成分的1/9，這就是所謂的混疊：高頻混疊成低頻了。

即對連續(xù)信號進(jìn)行等時間采樣時，如果采樣頻率不滿足采樣定理，采樣后的信號頻率就會發(fā)生混疊，即高于奈奎斯特頻率（采樣頻率的一半）的頻率成分將被重構(gòu)成低于奈奎斯特頻率的信號。這種頻譜的重疊導(dǎo)致的失真，也就是高頻信號被混疊成了低頻信號。

該圖展示了奈奎斯特-香農(nóng)采樣定理以及頻域中的混疊現(xiàn)象。

三種采樣情況對比

采樣是否有效的關(guān)鍵，不在于采樣率本身，而在于采樣后頻譜是否發(fā)生重疊。

列差異說明（Column Differences）

關(guān)鍵概念

奈奎斯特速率（Nyquist Rate）：為了避免信息丟失，信號的采樣率 必須至少為其最高頻率分量（ 或帶寬 ）的兩倍。          
混疊（Aliasing）：當(dāng)采樣率過低時，不同頻譜會發(fā)生重疊，從而導(dǎo)致信號失真（如圖中紅色陰影區(qū)域所示）·。

混疊實(shí)例

倘若對一個正弦信號進(jìn)行采樣，如果采樣頻率等于信號頻率，那么采樣的時間間隔等于信號周期，因而，信號的每個周期只能采集到一個數(shù)據(jù)，如下面左圖所示，將這樣采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)連成線條，得到的線條將是一條直線，因而，對應(yīng)的頻率成分為0Hz。

如果采樣頻率為這個正弦信號的頻率成分的2倍，因而，采樣的時間間隔為信號周期的一半，因此，信號每個周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)為2，也就是每個周期采集兩個數(shù)據(jù)點(diǎn)，如上面右圖所示。將這些采樣點(diǎn)連成線條，得到的信號形狀為三角波，雖然信號的頻率成分沒有失信，但是很難保證信號的幅值不失真。因為這兩個采樣點(diǎn)很難位于正弦信號的波峰與波谷處。也就是說，在很大程度上，采樣后的信號的幅值是失真的。

通常情況下，若采樣頻率小于2倍的信號頻率，即fs<2*fa，那么，采樣后的信號將存在混疊。如下面左圖所示，由于信號中存在超出奈奎斯特頻率的信號存在，采樣后的信號，將會使超過奈奎斯特頻率成分之上的頻率關(guān)于奈奎斯特頻率鏡像到奈奎斯特頻率以下的可觀測區(qū)域，如下面右圖所示。

在這給出一個掃頻的混疊實(shí)例。掃頻信號為100-600Hz，采樣頻率為1000Hz，因而可觀測到500Hz以內(nèi)的信號成分。因此，對100-500Hz以內(nèi)的信號進(jìn)行采樣，頻率是沒有問題的，但是對于超出500Hz以上的頻率成分，從下面動態(tài)圖中的頻譜可以看出這部分信號最后混疊成了400-500Hz。

用于演示混疊現(xiàn)象的最經(jīng)典例子之一是所謂的“車輪效應(yīng)”。在影片里當(dāng)馬車越走越快時，馬車車輪似乎越走越慢，然后甚至朝反方向運(yùn)轉(zhuǎn)。剛開始輪輻逆時針運(yùn)轉(zhuǎn)，然后逐漸變慢并開始順時針運(yùn)轉(zhuǎn)。

與車輪效應(yīng)相同的是轉(zhuǎn)動的吊扇，小時候都見過家中的吊扇，當(dāng)轉(zhuǎn)速越來越快時，出現(xiàn)的現(xiàn)象是先順時針旋轉(zhuǎn)，然后靜止，然后逆時針旋轉(zhuǎn)。這是因為人眼在看物體時，人眼也有一定的采樣速率。當(dāng)人眼的采樣速率跟不上越來越快的轉(zhuǎn)速時，就會出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。靜止不動時的轉(zhuǎn)速對應(yīng)的頻率就是人眼的采樣速率。

人眼在觀看轉(zhuǎn)動的吊扇時，對于倒轉(zhuǎn)現(xiàn)象是因為高速旋轉(zhuǎn)的葉片轉(zhuǎn)速非常快，在短時間內(nèi)從0度順時針旋轉(zhuǎn)到330度時（假設(shè)的情況），人眼觀察到的似乎是從360度逆時針旋轉(zhuǎn)到330度，因此，看起來像是在倒轉(zhuǎn)。

如何最小化混疊？

既然信號可能存在混疊，怎樣才能最小化混疊或者消除混疊呢？

初看起來，如果信號中沒有高于奈奎斯特頻率的頻率成分，那么則不存在混疊。這要求采樣頻率極高，使得實(shí)際信號都位于奈奎斯特頻率以下。但這不總是實(shí)用和可能，因為，您永遠(yuǎn)不知道真實(shí)信號的頻率成分。另一個方面，雖然采樣頻率極高可以一定程度上避免混疊，但這樣會導(dǎo)致出現(xiàn)大的數(shù)據(jù)文件，同時，最高采樣頻率受數(shù)據(jù)采集設(shè)備的限制。

另外，采樣定理只保證了信號不被歪曲為低頻信號，即使高的采樣頻率也不能保證不受高頻信號的干擾，如果傳感器輸出的信號中含有比奈奎斯特頻率還高的頻率成分存在，ADC同樣會以所選采樣頻率加以采樣，使高于奈奎斯特頻率的頻率成分混入分析帶寬之內(nèi)。

故在采樣前，應(yīng)把高于奈奎斯特頻率成分以上的頻率濾掉，這就需要抗混疊濾波器，它是一個低通濾波器：低于奈奎斯特頻率的頻率通過，移除高于奈奎斯特頻率的頻率成分，這是理想的濾波器。

理想濾波器

實(shí)際濾波器

實(shí)際情況是任何濾波器都不是理想的濾波器，抗混疊濾波器也不例外。濾波器存在濾波陡度，在濾波截止頻率（奈奎斯特頻率）以上的一些區(qū)域還存在混疊的可能性，這個區(qū)域?qū)?yīng)帶寬的80%以上部分，也就是帶寬的80%-100%區(qū)域。如下圖所示，高于奈奎斯特頻率以上的頻率成分會關(guān)于奈奎斯特頻率鏡像到帶寬的80%-100%區(qū)域，形成混疊，而帶寬80%以內(nèi)的區(qū)域，是無混疊的。

當(dāng)然，如果信號中沒有高于奈奎斯特頻率的成分存在，則整個帶寬都不存在混疊。當(dāng)信號還有高于奈奎斯特頻率有成分存在時，按采樣定理設(shè)置采樣頻率時，帶寬的80%以上頻帶則存在混疊，如下圖紅框所示區(qū)域即遭受了頻率混疊的影響。由于帶寬以上還有信號存在，因此，這些頻率關(guān)于帶寬鏡像到了帶寬以內(nèi)。

通過這一部分的分析可知，即使使用抗混疊濾波器，在帶寬的80%以上的頻率區(qū)間還可能存在混疊，如要整個頻帶都無混疊，則采樣頻率至少高于信號頻率的2.5倍以上。

如何計算混疊后的頻率？

若沒有抗混疊濾波器存在，信號必然存在混疊，那么怎么求解混疊后的頻率成分？在這介紹兩種方法：一種稱為鏡像法，一種稱為公式法。

鏡像法

假設(shè)信號的頻率fa大于采樣頻率fs，因此，采樣后必然存在混疊。這時，信號頻率將會關(guān)于離它最近的整數(shù)倍的奈奎斯特頻率鏡像，如果鏡像后的頻率位于觀測的帶寬以內(nèi)，則是混疊后的頻率。如果鏡像后的頻率還未位于觀測的帶寬以內(nèi)，則會關(guān)于下一個整數(shù)倍的奈奎斯特頻率鏡像（往0Hz方向），直到鏡像到帶寬以內(nèi)為止。

如下圖所示，信號的頻率fa首先關(guān)于3倍奈奎斯特頻率鏡像，但此時還不是帶寬以內(nèi)，所以，之前鏡像后的頻率又關(guān)于2倍奈奎斯特頻率鏡像，但還不是帶寬以內(nèi)，需要繼續(xù)將關(guān)于2倍奈奎斯特頻率鏡像后的頻率關(guān)于1倍奈奎斯特頻率鏡像，這時，頻率終于位于觀測的帶寬以內(nèi)，這就是混疊后的頻率fd。

公式法

對于混疊現(xiàn)象，也可以從下面的數(shù)學(xué)公式得到混疊后的頻率

K是個整數(shù)，取值從0開始，適當(dāng)?shù)娜≈祽?yīng)使得|fa-Kfs|最小。因而，可以將上式寫成

比如考慮采樣頻率為500Hz，采集各種不同頻率的信號，結(jié)果如下表所示，注意數(shù)字化后的頻率重復(fù)出現(xiàn)。

實(shí)際頻率faHz------最小K值---------混疊的頻率fd Hz

180--------------0--------------------180          
280-------------1-------------------220          
380-------------1-------------------120          
480-------------1-------------------20          
580-------------1-------------------80          
680--------------1-----------------180          
780-------------2-----------------220          
880-------------2----------------120          
980--------------2---------------20          
--------------空格符

什么是階次混疊？

除了頻率混疊之外，還會存在階次混疊。由于階次可以在頻域顯示也可以在階次域顯示，因此，階次混疊存在頻域混疊和階次域混疊兩種情況。

在頻域顯示時，階次是斜線，高于最大階次以上的階次成分會關(guān)于最大階次線鏡像到最大階次以內(nèi)，如下面左圖所示。當(dāng)在階次域時，階次垂直于橫縱，此時階次混疊類似于頻率混疊，如下面右圖所示。

下圖中，左圖為60個PPR采集得到的信號，那么，能分析到的最大階次為30階次。信號的主要階次為1，2，10，17階次。右圖為20個PPR采集得到的信號，那么，能分析的最大階次為10階次。此時，右圖中的主要階次為1，2，3，10階次。右圖中沒有17階次，多出來一個3階次。這是由于采用20個PPR進(jìn)行信號采集時，只能采集得到10階次以內(nèi)的信息，17階次高于最大階次，此時，17階次將關(guān)于最大階次線混疊成了3階次（17階次關(guān)于10階次鏡像成了3階次），這是階次混疊現(xiàn)象。 

奈奎斯特采樣定理 NYQUIST SAMPLING THEOREM

A signal must be sampled at a rate, fs, which is at least twice the highest frequency component, fm, present in the signal to avoid the loss of information. Thus,

If we do not satisfy this criterion we cannot recover the original signal. In particular, we may see frequency components that do not exist in the original signal. This is called aliasing.

根據(jù)奈奎斯特采樣定律，采樣率必須 ≥ 信號最高頻率的 2 倍

奈奎斯特定理說的是什么？

·如果要完全恢復(fù)原始模擬信號

·采樣頻率 必須至少是信號中最高頻率 的 2 倍

這個 2× 就叫奈奎斯特頻率（Nyquist Rate）

具有最大頻率 fmax 的有限帶寬信號，等間隔采樣頻率 fs 必須大于兩倍的最大頻率 fmax，才能唯一地重建信號而不會有混疊現(xiàn)象。

如何理解奈奎斯特采樣定理？

你知道嗎？采樣定理的發(fā)現(xiàn)實(shí)際上是一項合作成果。它由克勞德·香農(nóng)（Claude Shannon）于1949年正式證明并推廣了該定理，但哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）早在1928年便奠定了其理論基礎(chǔ)，正因如此，該定理正式定名為“奈奎斯特-香農(nóng)采樣定理”，它的標(biāo)準(zhǔn)名字應(yīng)該是 Nyquist-Shannon 采樣定理。

那么，如何理解奈奎斯特采樣定理？我們可以用一個旋轉(zhuǎn)輪來形象理解這個定理，

這是一個各個軸之間間隔45度的輪子，每個輪子都被標(biāo)上了標(biāo)識。

假設(shè)這個輪子以每秒45度來轉(zhuǎn)動，那么每個軸返回原位需要8秒（即采樣周期）。那么如果我們每8,16,24秒來用相機(jī)拍照，是不是每次都可以拍攝到原圖像靜止不動？

這是因為在采樣周期內(nèi)，車輪旋轉(zhuǎn)的整數(shù)周期都會回到原位，不論旋轉(zhuǎn)方向如何。那么就有了一個非常重要的結(jié)論：采樣周期的整數(shù)倍不能觀測到相位變化。

我們來減少一點(diǎn)拍攝周期，如果以每4秒的速度拍攝呢？

每4秒拍照一次，輪子只能轉(zhuǎn)一半，那么我們可以在照片中檢測到輪子正在旋轉(zhuǎn)，雖然依然不能區(qū)分它的旋轉(zhuǎn)方向，但是輪子的狀態(tài)（相位）已經(jīng)可以區(qū)分了。

那么再減少一點(diǎn)拍攝周期，以每3秒的速度拍攝呢？

無論順時針還是逆時針，都可以看到輪軸的錯位（相位的變化）。

這就是 Nyquist-Shannon 采樣定理，我們希望同時看到輪子的旋轉(zhuǎn)和相位變化，采樣周期要小于整數(shù)周期的 1/2，采樣頻率應(yīng)該大于原始頻率的 2 倍。同理，對于模擬信號，我們希望同時看到信號的各種特性，采樣頻率應(yīng)該大于原始模擬信號的最大頻率的兩倍，否則將發(fā)生混疊（相位/頻率模糊）。

采樣率到底是 ≥2×帶寬，還是 ≥2×最高頻率？

很多人都聽過奈奎斯特采樣定理，但一個關(guān)鍵問題常被誤解： 采樣率到底是 ≥2×帶寬，還是 ≥2×最高頻率？為什么會出現(xiàn)兩種不同的說法？主要原因是信號類型不同。

奈奎斯特采樣定理本質(zhì)要求采樣率 fs ≥ 2×最高頻率 fmax，而不是簡單的 2×帶寬；只有在低通信號（帶寬等于最高頻率）或特定帶通采樣條件下，fs ≥ 2B 才成立。

低通采樣定理

低通采樣定理（奈奎斯特采樣）是要求大于信號的最高上限頻率的兩倍

提示：此采樣定理是萬能的，理論上可利用此定理對帶通信號采樣。

什么是低通采樣？

低通采樣是指當(dāng)原信號為低通或接近低通信號時，通過采樣定理實(shí)現(xiàn)信號無失真離散化的過程，核心是確保頻域周期延拓后不發(fā)生混疊。

低通采樣核心定義

低通采樣基于奈奎斯特采樣定理，要求采樣頻率 fs大于信號最高頻率 fmax的兩倍（即fs>2fmax)。此時時域采樣等價于頻域的周期延拓，原信號頻譜（集中在 [0, fmax]）經(jīng)延拓后不會與其他周期頻譜重疊，通過低通濾波器可完全恢復(fù)原始信號。

低通采樣關(guān)鍵是什么呢？

·適用場景： 當(dāng)信號頻譜集中在低頻段（如語音信號、低頻傳感器數(shù)據(jù)），且零頻附近無大量空白時，低通采樣能避免頻譜浪費(fèi)。

·數(shù)學(xué)本質(zhì)：時域采樣后頻域產(chǎn)生周期為 fs的延拓，低通采樣要求延拓后的頻譜（負(fù)半軸[-fs,0])與原頻譜[0, fmax]無重疊，即fs/2 ≥fmax.

·與帶通采樣的對比：低通采樣適用于信號頻譜接近零頻的場景，而帶通采樣利用零頻附近空白，可降低采樣率（如 1 GHz 帶寬 10 kHz 的信號，采樣率可低至 2fmax).

·物理意義：低通采樣通過嚴(yán)格的采樣率約束，確保離散信號能通過理想低通濾波器（時域?qū)?yīng) sa(x)函數(shù)）無失真恢復(fù)，是信號處理中最基礎(chǔ)的采樣方式。

帶通采樣定理

奈奎斯特采樣定理討論的是頻譜分布在上的基帶信號的采樣問題。但對于接收機(jī)，接收信號大多為調(diào)制的射頻信號，射頻信號的頻率上限遠(yuǎn)高于基帶信號的頻率上限，且僅分布在有限的范圍內(nèi)。

帶通信號的采樣頻率在某時，小于低通采樣頻率也能無失真恢復(fù)原信號

什么是帶通采樣？

帶通采樣是指對中心頻率為f0,帶寬為B的帶通信號（如射頻、中頻信號）進(jìn)行采樣時，利用其頻譜在零頻附近的空白區(qū)域，通過將原信號頻譜以采樣頻率 fs為周期延拓后不發(fā)生混疊，從而用低于奈奎斯特頻率 2fmax的采樣頻率實(shí)現(xiàn)無失真恢復(fù)的技術(shù)。

帶通采樣核心定義

時域與頻域關(guān)系：帶通采樣的本質(zhì)是通過采樣定理將帶通信號的頻譜在頻域以 fs為周期延拓，利用零頻附近的頻譜空白區(qū)域避免混疊，實(shí)現(xiàn)對高頻信號的“頻譜搬移”。

數(shù)學(xué)條件：設(shè)帶通信號頻率范圍為 [fL,fH]（帶寬 B=fH?fL），采樣頻率 fs需滿足：

上圖為帶通信號的頻譜圖（一般都是已調(diào)信號）

現(xiàn)實(shí)生活中信號帶寬 B 并不一定很寬，可能為幾 M，但 f? 可能為幾十個 G，AD 也難以實(shí)現(xiàn)如此高的采樣率，這時，低通采樣定理已經(jīng)不能滿足實(shí)際中的使用要求，從而催生了帶通采樣的應(yīng)用。

帶通采樣延伸拓展

·頻譜混疊規(guī)避： 當(dāng)信號帶寬遠(yuǎn)小于中心頻率時（如 f0=1 GHz, B=10 KHz），若采用低通采樣需 fs≥2fH，會導(dǎo)致硬件復(fù)雜度劇增。帶通采樣通過頻譜延拓，僅需 fs約等于2B即可。

·工程應(yīng)用場景： 常用于射頻通信、雷達(dá)、軟件無線電等領(lǐng)域，例如對1.2 GHz 帶寬100 kHz 的帶通信號，可通過帶通采樣定理選擇 fs=200kHz ，而非 2.4 GHz 的奈奎斯特頻率。

·頻譜搬移現(xiàn)象： 帶通采樣后，原信號頻譜會以 fs為周期在正負(fù)頻率軸上重復(fù)出現(xiàn)，需通過數(shù)字濾波（如鏡像抑制濾波器）選擇所需頻段，避免混疊干擾。

·欠采樣與過采樣： 當(dāng) fs< 2fH時稱為欠采樣，此時頻譜延拓后的高頻分量與原信號頻譜在零頻附近無重疊；若fs>2fH則退化為過采樣，本質(zhì)與奈奎斯特采樣一致。

低通采樣 vs 帶通采樣核心對比圖

 因此，我們得到一個關(guān)鍵結(jié)論：奈奎斯特定理不是簡單的 “fs>2f_max”，而是：

對低通信號：fs≥2B          
對帶通信號：fs≥2B(1+M/N)

這樣的本質(zhì)是必須避免頻譜重疊，而不是單純限制頻率大小 

總結(jié)

奈奎斯特采樣定理并不只是“采樣率大于 2 倍最高頻率”，對于帶通信號或欠采樣系統(tǒng)，實(shí)際最小采樣率可以表示為fs,min=2B(1+M/N)，關(guān)鍵在于保證頻譜不會發(fā)生不可逆重疊。 

推薦閱讀：

奈奎斯特采樣常見誤區(qū)詳解

在數(shù)字信號處理和測試測量領(lǐng)域，奈奎斯特采樣定理是最基礎(chǔ)但也是最容易被誤解的概念之一。尤其是在實(shí)際工程應(yīng)用和知乎等技術(shù)討論區(qū)中，存在一些反復(fù)出現(xiàn)的典型誤區(qū)。本文將系統(tǒng)性地深入分析三個最常見的錯誤認(rèn)知，并從數(shù)學(xué)原理、頻域理解以及工程實(shí)踐三個層面進(jìn)行全面解釋。 

一、誤區(qū)1：奈奎斯特 = 2×帶寬

很多人習(xí)慣性認(rèn)為奈奎斯特采樣定理可以簡單理解為“采樣率 ≥ 2×帶寬”。這種說法在特定條件下是成立的，但本質(zhì)上是錯誤的。 

奈奎斯特采樣定理的嚴(yán)格表述是：采樣頻率 fs 必須大于信號中最高頻率分量 fmax 的兩倍，即 fs > 2fmax。這一定義強(qiáng)調(diào)的是“最高頻率分量”，而不是“帶寬”。 

之所以產(chǎn)生混淆，是因為在最常見的低通信號中，信號頻譜從 0Hz 開始延伸到 fmax，此時帶寬 B = fmax。因此在這種特殊情況下，2×帶寬恰好等于 2×最高頻率，于是很多人誤認(rèn)為“帶寬”才是關(guān)鍵。 

然而，當(dāng)信號變?yōu)?/span>帶通信號時，這種理解會徹底失效。例如一個位于 1 GHz 附近、帶寬為 10 MHz 的信號，其最高頻率為 1.01 GHz。如果仍然使用 2×帶寬作為采樣標(biāo)準(zhǔn)，則只需 20 MHz，但正確的奈奎斯特要求應(yīng)為超過 2.02 GHz。這一差異跨越兩個數(shù)量級。 

本質(zhì)原因在于：奈奎斯特定理關(guān)注的是頻譜復(fù)制后是否發(fā)生重疊（混疊）。在頻域中，采樣會導(dǎo)致信號頻譜以采樣頻率為周期進(jìn)行重復(fù)復(fù)制。如果采樣率不足以“撐開”這些頻譜副本，便會發(fā)生重疊，導(dǎo)致信息不可恢復(fù)。 

因此應(yīng)牢記：奈奎斯特約束的是頻譜的“最遠(yuǎn)邊界”，而不是頻譜的“寬度”。 

二、誤區(qū)2：欠采樣一定錯誤

很多教材和工程經(jīng)驗都會強(qiáng)調(diào)避免欠采樣，因此形成了“欠采樣一定錯誤”的直觀印象。然而這一結(jié)論并不普適。 

在低通采樣場景下，如果 fs < 2fmax，則頻譜復(fù)制后會發(fā)生重疊，產(chǎn)生混疊，這是不可恢復(fù)的錯誤。因此在低通條件下，欠采樣確實(shí)意味著錯誤。 

但是，對于帶通信號，情況完全不同。帶通信號的頻譜位于某一頻段（例如 fL 到 fH），而在靠近零頻的位置存在大量頻譜空白。這些空白為頻譜的重新排列提供了空間。 

帶通采樣的核心思想是：允許頻譜發(fā)生“受控的混疊”，即通過合理選擇采樣頻率，使得不同周期復(fù)制后的頻譜剛好錯開排列，而不是相互重疊。換句話說，混疊從“錯誤來源”被轉(zhuǎn)化為“有用工具”。 

在這種情況下，采樣率甚至可以降低到接近 2×帶寬，而遠(yuǎn)低于 2×最高頻率。例如對于 1 GHz 的窄帶信號，其采樣率可以降至幾十 kHz 量級。 

因此，欠采樣是否錯誤，取決于混疊是否可控：           
- 不可控混疊 → 錯誤           
- 可控混疊 → 技術(shù)手段（帶通采樣） 

這也是現(xiàn)代軟件無線電（SDR）和射頻采樣系統(tǒng)中廣泛采用欠采樣技術(shù)的根本原因。 

三、誤區(qū)3：采樣率越高越好

直覺上，采樣率越高，獲取的信息越多，因此系統(tǒng)性能似乎越好。然而在實(shí)際工程系統(tǒng)中，這種觀點(diǎn)往往是錯誤甚至危險的。 

首先，采樣率的提高會顯著增加數(shù)據(jù)量，帶來存儲和處理壓力。例如采樣率增加10倍，數(shù)據(jù)量也會增加10倍，對系統(tǒng)帶寬、存儲和后處理能力提出更高要求。 

其次，更高的采樣率意味著更高的模擬前端帶寬需求，這會引入更多噪聲。同時，ADC 的有效位數(shù)（ENOB）可能在高頻下下降，反而降低測量精度。 

此外，高采樣率還會放大時鐘抖動（jitter）對系統(tǒng)的影響。在高頻信號采樣中，微小的時鐘誤差都會導(dǎo)致顯著的幅度誤差和相位噪聲。 

從信號處理角度看，只要采樣率滿足避免混疊的條件，并結(jié)合適當(dāng)?shù)臑V波和重建算法，就足以實(shí)現(xiàn)無失真恢復(fù)。進(jìn)一步提高采樣率往往只帶來邊際收益。 

工程實(shí)踐的關(guān)鍵不是“最大采樣率”，而是“合理采樣率”。需要綜合考慮信號頻譜、帶寬、系統(tǒng)資源、噪聲性能和成本。 

總結(jié)：           
奈奎斯特采樣定理的精髓在于頻譜管理，而非簡單的公式記憶。低通采樣強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格避免混疊，帶通采樣則通過頻譜設(shè)計利用混疊。真正的工程能力體現(xiàn)在如何在復(fù)雜約束下選擇最優(yōu)采樣策略，而不是盲目追求更高的采樣率。

奈奎斯特采樣定理問答

什么是奈奎斯特速率（Nyquist Rate）？

它是為了避免信息丟失而必須達(dá)到的最低采樣頻率，其計算公式為 f? > 2 × f???。例如，如果您的信號最高頻率為 10 kHz，那么您必須以高于 20 kHz 的頻率進(jìn)行采樣。

什么是奈奎斯特頻率（Nyquist Frequency）？

它恰好是采樣頻率的一半（即 f? / 2）。源信號中任何高于此上限的頻率成分都會導(dǎo)致采樣失真（即產(chǎn)生采樣偽影）。

什么是混疊（Aliasing）？

如果信號的采樣速率不夠高，其高頻成分就會發(fā)生“折疊”，從而被錯誤地呈現(xiàn)為低頻成分。混疊現(xiàn)象會永久性地破壞數(shù)據(jù)，并在信號重構(gòu)過程中產(chǎn)生不可逆轉(zhuǎn)的誤差。

問：我們能否以恰好兩倍于最高頻率的速率進(jìn)行采樣？

答：從理論上講是可以的，但在實(shí)際應(yīng)用中卻行不通。奈奎斯特采樣定理要求采樣頻率 (f?) 必須**大于** 2f???（即 f? > 2f???）。如果恰好以 2f??? 的速率進(jìn)行采樣（例如恰好在正弦波的波峰和波谷處進(jìn)行采樣），您將無法確定信號的確切相位，從而往往導(dǎo)致重構(gòu)出的信號呈現(xiàn)為一條平坦的直線。

問：這一原理如何應(yīng)用于 CD 音質(zhì)的音頻？

答：人類聽覺的上限通常在 20 kHz 左右。根據(jù)奈奎斯特采樣定理，音頻信號的采樣頻率必須高于 40 kHz。CD 音頻的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)采樣率為 44.1 kHz，這一速率足以完美地涵蓋所有頻率在 22.05 kHz 及以下的信號成分。

問：我們能否以遠(yuǎn)高于最低要求的速率進(jìn)行采樣？

答：可以。事實(shí)上，工程師們在工作中經(jīng)常采用“過采樣”（oversampling）技術(shù)。雖然采樣速率沒有理論上的上限，但較高的采樣率會導(dǎo)致文件體積增大，并對處理器的運(yùn)算能力提出更高的要求。過采樣有助于實(shí)現(xiàn)更純凈的數(shù)模轉(zhuǎn)換（DAC），并能降低對硬件濾波器性能的嚴(yán)格要求。

問：在實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)中，我們該如何防止混疊現(xiàn)象的發(fā)生？

答：由于實(shí)際信號中往往包含理論上具有無限頻率成分的信號（例如噪聲），因此工程師們通常會采用“抗混疊濾波器”（anti-aliasing filter）來解決這一問題。該低通濾波器置于模數(shù)轉(zhuǎn)換器（ADC）之前，用于截去奈奎斯特頻率以上的所有頻率。