無人駕駛控制算法之H∞控制

預(yù)備知識

——有界實引理

在H∞控制理論中最重要的定理即有界實引理，下面將針對線性連續(xù)系統(tǒng)和線性離散系統(tǒng)進(jìn)行分析并得出有界實引理。

引理1：考慮線性連續(xù)系統(tǒng)

如果滿足以下兩個條件則系統(tǒng)（1）具有H∞性能：

（1）存在滿足如下不等式：

（2）存在正定對稱矩陣滿足如下不等式：

令，則不等式（3）等價于：

引理2：考慮線性離散系統(tǒng)

（1）存在滿足如下不等式：

（2）存在正定對稱矩陣滿足如下不等式：

——舒爾補定理

在H∞控制器設(shè)計過程中，舒爾補定理在矩陣不等式的解算過程中起著非常關(guān)鍵的作用。舒爾補的性質(zhì)：給定矩陣，則如下線性矩陣不等式（LMI）

等價于：

其中，表示輸入矩陣，表示額外擾動矩陣，表示額外擾動。

為了構(gòu)建閉環(huán)控制系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入被設(shè)計為u=-Kx，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述等價于：

其中，表示閉環(huán)系統(tǒng)矩陣，。

定理1：如果存在正標(biāo)量使下面不等式成立，則使閉環(huán)控制系統(tǒng)（10）具有H-infinity性能。

其中矩陣。

證明過程：假設(shè)存在一個，使得下面不等式成立：

其中表示正定矩陣的最大特征值。

為了保證系統(tǒng)H-infinity性能，評價指標(biāo)被引進(jìn)，如下所示：

如果成立，則可保證控制系統(tǒng)H-infinity性能。

根據(jù)舒爾補定理，評價指標(biāo)可以被等價描述為：

設(shè)，則評價指標(biāo)函數(shù)可表示為：

經(jīng)上述推導(dǎo)可知，等價于，即只要保證不等式成立，則成立，進(jìn)而保證系統(tǒng)的H-infinity性能。

離散系統(tǒng)H∞控制器設(shè)計

為了構(gòu)建閉環(huán)的系統(tǒng)矩陣，系統(tǒng)輸入被設(shè)計為，則系統(tǒng)矩陣可以被重新描述為：

定理2：如果存在正標(biāo)量使得下面不等式成立，則使得閉環(huán)控制器（19）具有H-infinity性能。

證明過程：假設(shè)存在一個，使得下面不等式成立：

其中表示正定矩陣的最大特征值。

為了保證系統(tǒng)H-infinity性能，評價指標(biāo)被引進(jìn)，如下所示：

如果成立，則可保證控制系統(tǒng)H-infinity性能。

根據(jù)舒爾補定理，評價指標(biāo)可以被等價描述為：

可以被等價描述為：

設(shè)可以被描述為

根據(jù)舒爾補定理可以被等價描述為：

經(jīng)上述推導(dǎo)可知，等價于，即只要保證不等式成立，則成立，進(jìn)而可保證離散系統(tǒng)的H∞性能。

-??THE END? -

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