卷到最后都是“高斯”

簡 介：?本文探討了信號通過一階低通濾波器進行多次濾波后的變化，并通過LTspice仿真觀察到，隨著濾波次數的增加，輸出信號逐漸接近高斯信號。文章分析了濾波過程中的信號延遲和方差變化，并基于電路的單位沖激響應，結合中心極限定理，推導出多次卷積后的信號趨向于高斯函數的結論。通過變量替換和仿真驗證，進一步證明了這一理論。最終指出，只要濾波器的單位沖激響應信號為正，無論何種濾波器，多次卷積結果都會趨向于高斯信號。
關鍵詞：低通濾波器，卷積，中心極限定理

01循環卷積

一、電路仿真

??前幾天討論了一個矩形波信號，通過 RC低通濾波電路 進行反復濾波之后的波形。使用LTspice進行仿真，可以看到，隨著濾波次數的增加，輸出信號越來越接近高斯信號。這難道是一個巧合嗎？? 隨著濾波次數的增加，不僅信號波形逐步接近于高斯信號，同時信號的幅度也逐步降低，信號的方差 也漸漸擴大。此外，還有一個明顯的變化，就是信號隨著濾波次數的增加逐步延遲。下面，對于這個問題稍微進行理論上的分析。

二、問題分析

??由于信號是通過一階低通濾波器進行濾波，所以信號中的高頻成分信號的作用在后續濾波過程中逐步減小，因此，影響最后輸出信號的因素，主要是由信號給電路中電容最初沖入的電壓有關系。而這個電壓的大小可以看成由一個輸入的沖擊信號來完成的。所以，最終濾波電路輸出信號是由電路的單位沖激響應信號，經過不斷地卷積而形成的。這是后面分析的理論基礎。

??對于 RC 一階低通濾波器來說，使用它對于信號進行濾波，?如果進行重復濾波，??需要使用電壓跟隨電路將RC濾波電路進行級聯。級聯 N 個濾波器。? ?電路對應的單位沖激響應是單個濾波器的單位沖激響應的卷積。系統函數則是單個濾波器的系統函數的冪函數。我們希望，?證明，當級聯個數 n 趨向于無窮大的時候，對應的系統單位沖激響應趨向于一個高斯信號。?對應的系統函數，也是一個高斯信號。

三、卷積極限

??為了證明上面的結論，?考察一下該電路的單位沖激響應，??這是一個指數衰減的信號。?該信號是一個始終大于0 的函數，它的面積?恰好等于1 。這樣，我們就可以將它當做一個隨機變量 x 的概率密度函數。可以求出該隨機變量的均值和方差。構建一個有 N 個獨立同分布的隨機變量 x 累加和的變量 Yn，根據概率論中的中心極限定理?，可以知道這個變量的概率分布函數，隨著 n 趨向于 ∞，它趨向于高斯函數。

??下面，分析一下公式中隨機變量之和對應的概率密度函數，它等于單個隨機變量的概率密度函數?之間進行卷積的結果。為了下面方便書寫，將連續卷積記為下面等效的連乘的形式。那么，在累加和的基礎上，減去 n 倍的均值，這樣就構成了零均值的隨機變量，對應的概率密度函數可以看成 h(x) 平移之后的卷積。如果該變量除以一個比例因子，則對應變量的方差變化了比例因子的平方倍。也就是說，它對應的概率密度函數對應的方差等于 Yn 的方差，再乘以 n，sigma的平方。由此，可以知道對應的極限也是在Yn的概率密度函數的基礎上，修改一下對應的方差。至此，我們得到了 h(t) 卷積極限的公式。經過變量替換，最終，得到了我們希望證明的結論，那就是 一階低通濾波器單位沖激響應進行卷積的極限的確是一個高斯函數。

四、仿真驗證

??根據推導出來的極限公式，可以看到，隨著迭代的次數增加，輸出信號的幅度隨著 n 的根號分之一衰減，信號的中心隨著 n 呈現等間隔的延遲，信號的方差隨著 n 的二分之一次方增加。根據前幾天電路仿真的結果，可以看出，對輸出信號進行高斯信號擬合對應的幅度是減小的。中心延遲隨著 n 、線性增加，對應的方差增加，總的情況大體符合 n 的二分之一次方。由此也能夠對這個極限公式進行驗證。

※?卷積極限 ※

本文討論了信號經過由一階低通濾波器，進行循環濾波之后的信號，可以看到這個輸出信號與該低通濾波器的單位沖激響應信號有關系。可以看到它們的卷積結果。這個結果隨著濾波次數的增加，逐步接近于 一個高斯信號。其中應用了概率論中的中心極限定理，因此，只要濾波器的單位沖激響應信號都是大于零的信號。都可以得到相同的結論。也就是無論什么樣的濾波器，只要單位沖激響應信號的幅度大于零，最終卷積結果都是趨向于一個高斯信號。